Shvectores

Espacio Vectorial
Definición de espacio vectorial y propiedades
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos).Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Supongamos que tenemos un conjunto  donde para  y  escalares cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura
.
.
Propiedad de adición
.
. contiene al elemento 0 con .
Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
Entonces  se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe elelemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del .
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial te-nemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relacionesde orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración de espacios más complejos por medio de productos cartesianos
Propiedades del espacio vectorial. 
Hay una serie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: porejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector v son únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicación por el escalar cero da el vector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero:

Propiedad | Significado |
Unicidad del vector nulo | |
Unicidad del opuesto de un vector | |
Producto por el escalar cero |0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad. |
Producto de un escalar por el vector nulo | a 0 = 0 |
Opuesto del producto de un vector por un escalar | - (a v) = (-a) v = a (-v) |

Subespacio vectorial
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.
Sea H un subconjunto no vacío deun espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.

TEOREMA 1

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen lasdos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que

x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar.

Lo anterior dice que:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Ejemplo
El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto 0 que consiste en el vectorcero nada más es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo número real a.

TEOREMA 2

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces
H1 H2 es un subespacio de V.
Propiedades Vectoriales, combinación lineal, dependencia e independencia lineal
Propiedades vectoriales
Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores...