siastemas lineales

Páginas: 10 (2367 palabras) Publicado: 6 de julio de 2015
Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto
de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal
de ecuaciones seríael siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que
satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Índice
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1 Introducción



2 Sistemas lineales reales
o

2.1 Representación gráfica

o

2.2 Tipos de sistemas

o



2.2.1 Algoritmo para determinar si un sistema es compatible



2.2.2 Sistemas compatibles indeterminados



2.2.3 Sistemas incompatibles

2.3 Métodos de solución a sistemas de ecuacioneslineales


2.3.1 Sustitución



2.3.2 Igualación



2.3.3 Reducción



2.3.4 Método gráfico



2.3.5 Método de Gauss


2.3.5.1 Eliminación de Gauss-Jordan



2.3.6 Regla de Cramer



2.3.7 Algoritmos numéricos



3 Solución de sistemas lineales en un anillo



4 Véase también



5 Enlaces externos

Introducción[editar]
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puedeser escrito en forma
normal como:

Donde

son las incógnitas y los números

sistema sobre el cuerpo
coeficientes con notación matricial:

son los coeficientes del

. Es posible reescribir el sistema separando con

(1)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m. Elsistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de
sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se
llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos
independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.

Sistemas lineales reales[editar]
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas deecuaciones lineales sobre el
cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones
son números reales.

Representación gráfica[editar]

La intersección de dosplanos que no son paralelos coincidentes es una recta.

Un sistema con

incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será elplano bidimensional,
mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será
el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no

existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es
incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas,el universo será el espacio tridimensional, siendo
cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto,
las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de
todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán
las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos
problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas[editar]

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden
presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:




Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede...
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