Sicologa

Siglo XIX
Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert,pero su labor permaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógicaenfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivelsemántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).
[editar]Lógica simbólica
Leopold Löwenheim (1915) y Thoralf Skolem (1920) formularon el llamado teorema de Löwenheim-Skolem, que afirma que cualquier sistema axiomático basado en la lógica de primer orden no puede controlar la cardinalidad de la estructuras no finitas que satisfacen los axiomas de dicho sistema. Skolem comprendió queeste teoream podría aplicarse para las formalizaciones de primer orden de la teoría de conjuntos, sinedo dicha formalización numerable, existiría un modelo numerable para dicha teoría aun cuando la teoría afirma que existen conjuntos no contables. Este resultado contraintuitivo es la conocida paradoja de Skolem.
En su tesis doctoral, Kurt Gödel (1929) demostró el teorema de completitud, queestablece una correspondencia entre la sintaxis y la semántica de la lógica de primer orden. Gödel usó dicho teorema de completitud para probar el llamado teorema de comapcidad, demonstrando la naturaleza fintiaria del operador de consecuencia lógica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lógica de primer orden como el tipo de lógica dominanteen las matemáticas actual.
En 1931, Gödel publicó OnFormally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, que pdemostraba la incompletitud (en un sentido diferente del término) de cualquier sistema axiomático suficientemente expresivo, cuyo sistema de axiomas fuera recursivamente enumerable. Este tipo de resultados, conocidos como teorema de incompletitud de Gödel, implica que los sistemas axiomáticos de primer ordentienen severas limitaciones para fundamentar las matemáticas, y supusieron un duro golpe para el llamado programa de Hilbert para la fundamentación de las matemáticas. Uno de los resultados de Gödel estableció que es imposible que pueda formalizarse la consistencia de la artimética una teoría formal en la que se pueda formalizar la propia aritmética. Por otra parte, durante algún tiempo ni Hilbert niotros de sus colaboradores fueron conscientes de la importancia del trabajo de Gödel para su prentesión de fundamentar las matemáticas mediante el citado "programa de Hilbert".

[editar]Concepto de lógica matemática

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones ycomputación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalógicas de los mismos.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la...