Silidos 3

4.3 Deformaciones en un Elemento Simétrico Sometido a Flexión Pura.
Se estudiaran ahora las deformaciones en un elemento prismático que posee un plano de simetría y esta sometido en sus extremos a mares de M y M' iguales y opuestos que actúan en el plano de simetría. El elemento se flexionara bajo la acción de los pares, pero permanecerá simétrico con respecto a dicho plano (figura 1). Además,como el momento flector M es el mismo en cualquier sección, el elemento se flexionara de manera uniforme. Así, la línea de intersección AB entre la cara superior del elemento y el plano de los pares tendrá una curvatura constante. Es decir, la línea AB, que era originalmente recta se transformara en un circulo de centro C; lo mismo ocurrirá con la línea A' B' (no mostrada en la figura) a lolargo de lo cual la cara inferior del elemento interseca el plano de simetría. También se observará que AB se acortará mientras que A' B' se alargará al ocurrir la flexión mostrada en la figura, es decir, con M ˃ 0.

Figura 1
Figura 1

b)
b)
a)
a)
Figura 2
Figura 2
Ahora se probará que cualquier sección transversal perpendicular al eje del elemento permanece plana, y que elplano de la sección pasa por C. si no fuera así, podría encontrarse un punto E del corte original en D (figura 2a), el cual después de flexionar el elemento, no estaría en el plano perpendicular al plano de simetría que contiene la línea CD (figura 2b). Sin embargo, debido a la simetría del elemento, habrá otro punto E' que se transformará exactamente de la misma manera. Suponga que después deflexionar la viga, ambos puntos estuvieran localizados a la izquierda del plano definido por CD, como se muestra en la figura 2b. Puesto que el momento flector M es el mismo en todo el elemento, una situación similar prevalecería en cualquier otra sección, y los puntos correspondientes a E y E' también se moverían a la izquierda. Así, un observador en A concluiría que la carga provoca que las partes Ey E', en las diferentes secciones, se muevan hacia el. Pero, un observador en B, para quien las cargas se ven iguales, y que mira los puntos E y E' en la misma posición (excepto que ahora están invertidas), llegaría a la conclusión opuesta. Esta inconsistencia lleva a afirmar que E y E' estarán en el plano definido por CD y, por tanto, que la sección permanece plana y pasa por C. se debe anotar,sin embargo, que este análisis no excluye la posibilidad de que se representen deformaciones dentro del plano de la sección.
Figura 3
Figura 3
b) Sección longitudinal, horizontal.
b) Sección longitudinal, horizontal.
a) Sección longitudinal, vertical (plano de simetría)
a) Sección longitudinal, vertical (plano de simetría)
Suponga que el elemento esta dividido en un grannumero de pequeños elementos cúbicos con caras paralelas a los 3 planos coordenados. La propiedad que se a establecido requiere que estos pequeños elementos se transformen, como se muestra en la figura 3, cuando el elemento se somete a los pares M y M'. Como todas las caras representadas en las dos proyecciones de la figura 3 forman entre si un ángulo de 90°, se concluye que γxy = γzx =0, portanto, que τxy = τxz =0. Observando las tres componentes del esfuerzo que no se han analizado todavía, es decir,σy,σz y τyz, se notan que deben ser nulas en la superficie del elemento. Como por otra parte las deformaciones comprendidas no requieren ninguna interacción de los pequeños elementos de una sección transversal dada, se supondrá que estas tres componentes del esfuerzo son nulas en todo elelemento. Esta hipótesis se verifica tanto experimentalmente como teóricamente para elementos delgados que sufren pequeñas deformaciones. Se concluye que la única componente del esfuerzo no nula es la componente normal σx . Así, en cualquier punto de un elemento delgado, en flexión pura, se tiene un estado de esfuerzo uniaxial. Recordando que la línea AB decrece y A' B' se alarga, cuando M˃0, se...