simbolos de crisstoffel
Páginas: 6 (1498 palabras)
Publicado: 6 de noviembre de 2013
Símbolos de Christoffel
En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico. Se utilizan los símbolos de Christoffel siempre que se deban realizar cálculos teóricos que implican geometría, pues permiten efectuar cálculos muy complejos sin confusión. Inversamente, la notación formal (siníndices) para la conexión de Levi-Civita, es elegante y permite que los teoremas sean establecidos de un modo breve, pero son casi inútiles para los cálculos prácticos.
Los símbolos de Christoffel se pueden derivar de la anulación de la derivada covariante del tensor métrico gi k:
Permutando los índices, y resumiendo, se puede solucionar explícitamente para la conexión:
Obsérvese que aunque lossímbolos tienen tres índices en ellos, no son tensores. No se transforman como tensores. En cambio, son los componentes de un objeto en el segundo fibrado tangente, un fibrado "jet". Vea abajo para las propiedades de transformación de los símbolos de Christoffel bajo cambio de la base coordenada.
Observe que la mayoría de los autores eligen definir los símbolos de Christoffel en una base coordenadaholonómica, que es la convención seguida aquí. En coordenadas no holonómicas, los símbolos de Christoffel toman la forma más compleja:
donde son los coeficientes de conmutación de la base; es decir,
donde ek son los vectores de base y [,] es el corchete de Lie. Un ejemplo de una base anholonómica con coeficientes no triviales de conmutación son las coordenadas esféricas y cilíndricas.Las expresiones abajo son válidas solamente en una base holonómica, a menos que se establezca en forma diferente.
Relación con la notación sin índices[editar · editar código]
Sean X y Y campos vectoriales con los componentes Xi y Yk. Entonces el componente k-ésimo de la derivada covariante de Y con respecto a X viene dada por
.
Algunos libros viejos de física escriben de vez en cuando dx enlugar de X, y lo ponen después de la ecuación, más bien que antes. Aquí, se utiliza la notación de Einstein, los índices repetidos establecen la adición sobre esos índices y la contracción con el tensor métrico sirve para levantar y para bajar índices:
.
Tenga presente que y que , la delta de Kronecker. La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices inferiores; la forma correctade obtener gi k de gi k es solucionar la ecuación lineal .
La afirmación de que la conexión es libre de torsión , a saber que
es equivalente a la afirmación de que el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores:
.
El artículo sobre derivada covariante proporciona discusión adicional de la correspondencia entre las notaciones con o sin índices. Contrayendo índicesligados, se consigue
Donde |g| es el valor absoluto del determinante de tensor métrico gi k. Similarmente,
La derivada covariante de un vector Vm es
La divergencia covariante es
.
La derivada covariante de un tensor Ai k es
Si el tensor es antisimétrico, entonces su divergencia se simplifica a
.
La derivada contravariante de un campo escalar φ se llama el gradiente de φ. Es decir, elgradiente es el diferencial con el índice levantado:
El laplaciano de un potencial escalar viene dado por
.
El laplaciano es la divergencia covariante del gradiente, esto es Δφ = Di Diφ .
Curvatura de Riemann[editar · editar código]
El tensor de curvatura de Riemann viene dado en términos de los símbolos de Christoffel y las derivadas de estos por:
.
Las simetrías del tensor son:
y .
Esdecir, es simétrico en el intercambio del primer y último par de índices, y antisimétrico en la permutación de un par.
La suma de la permutación cíclica es
La identidad de Bianchi es
Longitud de un vector, angulo entre dos vectores geodésicos
Longitud de un vector
primero para calcular la longitud o modulo del vector que me esta formado por la suma de cada...
En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico. Se utilizan los símbolos de Christoffel siempre que se deban realizar cálculos teóricos que implican geometría, pues permiten efectuar cálculos muy complejos sin confusión. Inversamente, la notación formal (siníndices) para la conexión de Levi-Civita, es elegante y permite que los teoremas sean establecidos de un modo breve, pero son casi inútiles para los cálculos prácticos.
Los símbolos de Christoffel se pueden derivar de la anulación de la derivada covariante del tensor métrico gi k:
Permutando los índices, y resumiendo, se puede solucionar explícitamente para la conexión:
Obsérvese que aunque lossímbolos tienen tres índices en ellos, no son tensores. No se transforman como tensores. En cambio, son los componentes de un objeto en el segundo fibrado tangente, un fibrado "jet". Vea abajo para las propiedades de transformación de los símbolos de Christoffel bajo cambio de la base coordenada.
Observe que la mayoría de los autores eligen definir los símbolos de Christoffel en una base coordenadaholonómica, que es la convención seguida aquí. En coordenadas no holonómicas, los símbolos de Christoffel toman la forma más compleja:
donde son los coeficientes de conmutación de la base; es decir,
donde ek son los vectores de base y [,] es el corchete de Lie. Un ejemplo de una base anholonómica con coeficientes no triviales de conmutación son las coordenadas esféricas y cilíndricas.Las expresiones abajo son válidas solamente en una base holonómica, a menos que se establezca en forma diferente.
Relación con la notación sin índices[editar · editar código]
Sean X y Y campos vectoriales con los componentes Xi y Yk. Entonces el componente k-ésimo de la derivada covariante de Y con respecto a X viene dada por
.
Algunos libros viejos de física escriben de vez en cuando dx enlugar de X, y lo ponen después de la ecuación, más bien que antes. Aquí, se utiliza la notación de Einstein, los índices repetidos establecen la adición sobre esos índices y la contracción con el tensor métrico sirve para levantar y para bajar índices:
.
Tenga presente que y que , la delta de Kronecker. La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices inferiores; la forma correctade obtener gi k de gi k es solucionar la ecuación lineal .
La afirmación de que la conexión es libre de torsión , a saber que
es equivalente a la afirmación de que el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores:
.
El artículo sobre derivada covariante proporciona discusión adicional de la correspondencia entre las notaciones con o sin índices. Contrayendo índicesligados, se consigue
Donde |g| es el valor absoluto del determinante de tensor métrico gi k. Similarmente,
La derivada covariante de un vector Vm es
La divergencia covariante es
.
La derivada covariante de un tensor Ai k es
Si el tensor es antisimétrico, entonces su divergencia se simplifica a
.
La derivada contravariante de un campo escalar φ se llama el gradiente de φ. Es decir, elgradiente es el diferencial con el índice levantado:
El laplaciano de un potencial escalar viene dado por
.
El laplaciano es la divergencia covariante del gradiente, esto es Δφ = Di Diφ .
Curvatura de Riemann[editar · editar código]
El tensor de curvatura de Riemann viene dado en términos de los símbolos de Christoffel y las derivadas de estos por:
.
Las simetrías del tensor son:
y .
Esdecir, es simétrico en el intercambio del primer y último par de índices, y antisimétrico en la permutación de un par.
La suma de la permutación cíclica es
La identidad de Bianchi es
Longitud de un vector, angulo entre dos vectores geodésicos
Longitud de un vector
primero para calcular la longitud o modulo del vector que me esta formado por la suma de cada...
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