Simetria puntual

APUNTES DE CRISTALOGRAFIA: SIMETRIA

Màrius Vendrell

SIMETRÍA
La propia idea de periodicidad lleva implícita la idea (si más no intuitiva) de que ha de existir cierta simetría en los cristales. De hecho, la propia traslación es un elemento de simetría, por bien que solo es apreciable cuando se considera la escala atómica (relaciona grupos de átomos - el motivo -). Por tanto, según seconsidere el modelo microscópico (a escala atómica) o macroscópico de cristal, la traslación se contemplará como elemento de simetría o no, respectivamente. El modelo macroscópico del cristal lo considera una masa homogénea y, por tanto, la traslación no formará parte de los elementos de simetría. Mientras que en el modelo microscópico, los vectores traslación relacionan puntos homólogos en losconjuntos de átomos que forman el cristal. La simetría que describe el modelo macroscópico se llama simetría puntual o finita, mientras que la que describe el modelo microscópico se llama, simetría espacial o infinita. En lo que hace referencia a la SIMETRÍA FINITA o puntual se puede considerar la simetría respecto de un plano, de un eje o de un punto, y las combinaciones entre estos operadores. Simetríarespecto de un plano Dos objetos son simétricos respecto de un plano cuando todas las rectas que unen parejas de puntos homólogos en uno y otro son perpendiculares al plano y este determina en todas ellas segmentos iguales. Un objeto posee simetría respecte de un pla cuando este cumple la anterior condición para dos mitades del objeto. En Cristalografía se utiliza la notación de Herman-Maugin, enla cual el plano de simetría (o plano de reflexión) se describe

como m.

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Màrius Vendrell

Simetría respecto de una recta (eje de simetría) En este tipo de simetría, los puntos homólogos de la figura describen arcos iguales, en el mismo sentido

alrededor de un eje. Si el giro vale 2π n , se dice que el eje de simetría es de orden n. En la notaciónde HermanMaugin, la notación de los ejes se hace con el número de orden n.

El hecho de que el cristal sea un medio periódico limita los posibles ordenes de ejes de simetría a 1, 2, 3, 4 y 6, hecho que se puede demostrar a partir de los conceptos de periodicidad explicados anteriormente. Suponiendo una fila reticular como la de la figura con los nudos A, B y C, donde la traslación a lo largo dela fila es t . Si en el nudo A hay un eje de simetría, en aplicación del postulado reticular, en cada nudo habrá un eje de simetría igual.

El eje del nudo A relaciona el nudo B con otro situado en BA, y el que pasa por C relacionará el nudo B con el BC, ambos girando un ángulo φ. Por construcción, los nudos BA y BC forman parte de una fila paralela a la anterior (ABC), y por tanto los nudosestarán separados por una traslación múltiple de la que relaciona los nudos A y B, es decir mt , siendo m un número entero (en la figura m=1).

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Màrius Vendrell

Para los puntos BA y BC se hacen perpendiculares que intersecan la fila ABC en los puntos P y Q. Por construcción los triángulos AP BA y AQBC son rectángulos y por tanto

AP = CQ = a ⋅ cos φtambién se cumple que sustituyendo queda

PQ = mt

y como que CA=AP+PQ+QC

2 ⋅ t = 2 ⋅ t ⋅ cos φ

y dividiendo por 2a

1 = cos φ + m 2 (1)

el coseno de cualquier ángulo tiene valores entre +1 y -1, los valores extremos de m se pueden calcular haciendo

y

1 = 1 + m2 1= −1+ m

de donde m=0

2

de donde m=4

Por tanto, en el entorno de los valores 1 y -1 del coseno m coge losvalores 0, 1, 2, 3 o 4 (hay que recordar que m es un número entero). Así pues, sustituyendo los valores posibles de m en la ecuación (1) se pueden conocer los posibles ángulos de giro, y por tanto, los posibles ordenes de los ejes: para m=0, el ángulo vale 0º o 360º, y el orden del eje es 1 para m=1, el ángulo vale 60º, y el orden del eje es 6 para m=2, el ángulo vale 90º, y el orden del eje es 4...