Simulación 4

1

An´alisis de la Respuesta en Frecuencia
Profesor: Jaime Enrique Arango
Monitor: Carlos Andr´es Serna Anduquia
Sistemas Din´amicos y Control
Universidad Nacional De Colombia
Sede Manizales

Resumen—La respuesta en frecuencia es la respuesta en estado
estable de un sistema a una entrada senoidal. En los m´etodos de
˜ de entrada se
respuesta en frecuencia, la frecuencia de la senal
var´ıa en uncierto rango para estudiar la respuesta resultante.
Existen varias metodolog´ıas que permiten realizar este tipo de
an´alisis, en este laboratorio se explorar´a la t´ecnica m´as conocida
llamada diagramas de bode.
Palabras Claves—Diagramas de Bode, respuesta en Frecuencia.

I.

´
O BJETIVO DE LA P R ACTICA

Realizar los c´alculos matem´aticos para la construcci´on del
Diagrama de Bode. Realizarsimulaciones que permitan al
estudiante definir, observar y analizar los efectos sobre la
respuesta de un sistema en frecuencia al variar la ganancia
en lazo abierto, y confrontar con los resultados obtenidos
anal´ıticamente.
II.

´
A N ALISIS
DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

El t´ermino respuesta en frecuencia se refiere a la respuesta
de un sistema en estado estable a una entrada senoidal. En
losm´etodos de la respuesta en frecuencia, la frecuencia de la
se˜nal de entrada se var´ıa en un cierto rango, para estudiar la
respuesta resultante [1]. Aunque es posible utilizar diferentes
se˜nales, una entrada senoidal es simple y u´ til. El an´alisis
de la respuesta en frecuencia consiste en analizar la salida
del sistema en t´erminos de amplitud y fase cuando distintas
se˜nales de entrada senoidalse aplican al sistema.
Si el sistema tiene una funci´on de transferencia G(s), entonces
la respuesta de salida para una frecuencia ω = 2πf estar´a relacionada con la ganancia y la fase de G(jω)

Figura 1. Funci´on de transferencia lineal con una entrada senoidal

Para el sistema que se muestra el la Figura 1, las se˜nales
de entrada y salida (despu´es que los transitorios han pasado)
son:
u(t) = Usen(ωt) y(t) = Y sen(ωt + φ)
La correspondiente ganacia y fase se definen como:

|G(jω)| = YU
∠G(jω) = φ
La funci´on de transferencia senoidal, funci´on compleja de
la frecuencia ω, se caracteriza por su magnitud y a´ ngulo de
fase, con la frecuencia como par´ametro. Por lo general se usan
tres representaciones gr´aficas de las funciones de transferencia
senoidales:
1. Las trazas de Bode o trazaslogar´ıtmicas.
2. La traza de Nyquist o traza polar.
3. La traza de magnitud logar´ıtmica contra la fase.
En este caso se analizar´an los diagramas de Bode.

II-A.

Diagr´amas de Bode

Una funci´on de transferencia senoidal puede representarse
mediante dos gr´aficas distintas: Magnitud contra frecuencia y
fase contra frecuencia.
Las trazas de bode est´an formadas por dos gr´aficas, una es
ellogaritmo de la magnitud de una funci´on de transferencia
senoidal y la otra es el a´ ngulo de fase. Ambas se grafican
contra la frecuencia en escala logar´ıtmica.La representaci´on
com´un de la magnitud logar´ıtmica de G(jω) es 20 log
|G(jω)| en decibeles (dB). Las curvas se trazan en un plano
semilogar´ıtmico, con la escala logar´ıtmica para la frecuencia
y la escala lineal para cualquier magnitud(en dB) o el a´ ngulo
de fase (en grados) [1]. Esta aproximaci´on mediante as´ıntotas
(lineas rectas) es u´ til solo si se necesita informaci´on general
sobre la caracter´ıstica de la respuesta en frecuencia.

II-B.

Margen de ganancia y margen de fase

II-B1. Margen de ganancia: El margen de ganancia es el
rec´ıproco de la magnitud |G(jω)| en la frecuencia a la cual el
a´ ngulo de fase es -180◦ .Si definimos la frecuencia de cruce
de fase ω1 como la frecuencia a la cual el a´ ngulo de fase de
la funci´on de transferencia en lazo abierto es igual a -180◦ ,
se produce el margen de ganancia Kg :
Kg =

1
G (jω1 )

El margen de ganancia expresado en decibeles es positivo
si Kg es mayor que la unidad y negativo si Kg es menor
que la unidad. Por tanto, un margen de ganancia positivo (en...