Simulación con diferentes estadisticos de prueba

Simulaci´n del mejor estad´
o
ıstico de prueba para
probar la hip´tesis H 0 : π1 = π2
o
Daniela V´lez Montoya
e
30 Abril 2013
Resumen
Cuando utilizamos la metodolog´ GSK se tiene como objetivo hacer
ıa
inferencia acerca de la estructura subyacente de la tabla de contingencia;
especificada por las proporciones poblacionales por celda desconocidas
{π ij }. Y por medio de esta se generapruebas de hip´tesis que para nueso
tro caso de estudio ser´ la homogeneidad de estratos, pero por medio de
a
matem´ticas o c´lculos se puede generar diferentes pruebas de hip´tesis
a
a
o
para igualmente probar la homogeneidad lo que adicionalmente genera
estad´
ısticos de prueba diferente, aun que conociendo nuestra distribuci´n y el mundo asint´tico, todos estos nuevos estad´
o
oısticos se comportara
asint´ticamente normal. La idea es probar v´ simulaci´n cu´l de estas
o
ıa
o
a
nuevas hip´tesis y estad´
o
ısticos tienen mejor nivel real.

1

1.

Estad´
ısticos de prueba
Considere que se quiere probar la siguiente prueba de homogeneidad:
H 0 : π1 = π2

Por metodolog´ GSK , sabemos la distribuci´n de cada π i , y por tanto poıa
o
demos llegar a conocer elprimer estad´
ıstico de prueba establecido para este tipo
de hip´tesis
o
π1 − π2
ˆ
ˆ

z:

∼ N (0, 1)

1
n1

πp (1 − πp )
ˆ
ˆ

1
n2

+

Es de nuestro inter´s conocer las diferentes hip´tesis que se pueden crear
e
o
partiendo de la hip´tesis de homogeneidad inicial, y por medio de c´lculos mao
a
tem´ticos podemos decir que una hip´tesis adicional seria:
a
o
H0 :

π1π2

=1

Como conocemos la distribuci´n de los π i y sabemos de las ventajas de las
o
distribuciones asint´ticas, nuestro segundo estad´
o
ıstico de prueba es generado
basado en las distribuciones asint´ticas por lo que este tambi´n seguir´ una diso
e
a
tribuci´n Normal como lo hacen los π1 y π2
o
π1
ˆ
π2
ˆ

z:
π1
ˆ
π2
ˆ

2

−1
∼ N (0, 1)

1−π1
ˆ
π 1 n1
ˆ

+1−π2
ˆ
π 2 n2
ˆ

Algo m´s complicado se podr´ adicionar a este ultimo estad´
a
ıa
ıstico, ya que
podr´
ıamos conocer el logaritmo de es cociente de proporciones y sin embargo,
este cociente seguir´ heredando las propiedades de las distribuciones asint´ticas,
a
o
creando un tercer estad´
ıstico de prueba que se distribuir´ normal
a
H 0 : Log

π1
π2

=0
Log

z:
1−π1
ˆ
π 1n1
ˆ

π1
ˆ
π2
ˆ

+

∼ N (0, 1)
1−π2
ˆ
π 2 n2
ˆ

2

2.

Simulaci´n
o

Tendremos el conocimiento de una valor real de los π1 y π2 , lo cual nos
permitir´ evidenciar la eficiencia de cada uno de los estad´
a
ısticos para poder
calcular as´ el valor nominal de la prueba realizada, en ocasiones se realizan
ı,
pruebas donde no se conocer el valor real, y al conocerlo nosdamos cuenta que
este es mucho mayor al que se realiza, lo que nos indica que estamos realizando
estudios, inferencias y conclusiones con un nivel nominal m´s bajo de lo real.
a
Esto lo demostraremos en 3 casos diferentes, donde π1 > π2 , π1 = π2 y π1 < π2 ,
donde se conocer´ inicialmente el valor real y por medio de la simulaci´n, nos
a
o
daremos cuenta del valor nominal que cada pruebautiliza para cada uno de los
estad´
ısticos propuestos anteriormente.

2.1.
2.1.1.

Sea los tama˜ os mu´strales 20 y 100 para cada uno
n
e
de los 2 estratos respectivamente.
π1 > π2

Para nuestro caso, tendremos π1 = 0,9, π2 = 0,5

Esta simulaci´n que se realizo 500 veces con los tama˜os de muestras y
o
n
proporciones espec´
ıficos, nos muestra que con el primer estad´
ıstico deprueba
se rechazo la hip´tesis un 97.6 % de las veces, el 98.2 % de las veces se rechazo
o
la hip´tesis con el estad´
o
ıstico 2 y con el estad´
ıstico 3 se rechazaron el 98.4 % de
las veces. Viendo esto se tiende a decir que el estad´
ıstico m´s certero es el 3,
a
ya que como era de esperarse, se deb´ rechazar la hip´tesis dado que nuestras
ıa
o
proporciones son diferentes.

Ahora...