Simulación Pendulo Invertido

Simulaci´n de un p´ndulo invertido o e
Proyecto fin de carrera

Titulaci´n: Ingeniero T´cnico en Inform´tica de Sistemas o e a Autor: Jose Luis Beltr´n Alonso a Director: Pascual P´rez Blasco e

6 de Diciembre de 2010

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´ Indice general
1. Introducci´n o 1.1. Descripci´n del p´ndulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 1.2. Objetivos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Modelado Matem´tico del P´ndulo a e 2.1. An´lisis de las fuerzas y sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2. Funci´n de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.3. Ecuaci´n de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.4.Respuesta a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Soluci´n: Mediante funci´n de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 2.4.2. Soluci´n: Mediante espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3. Estabilizaci´n del p´ndulo o e 3.1. Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 9 11 13 16 16 18 21 21 21 23 27 32 32 34 38 38 39

3.1.2. Dise˜o PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 3.1.3. Ejemplo p´ndulo invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2. Regulador LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3.2.1. Base te´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.2. Dise˜o en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 3.3. Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Observador a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Observador de orden reducido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4. Implementaci´n o 4.1. P´ndulo invertido en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2. Conversi´n ’Matlab to Java’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.1. Funci´n c2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.2. Funci´n expm . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.3. Funci´n dlqr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3. Aplicaci´n Java . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3.1. Dise˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 4.3.2. C´digo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . o 5. Librer´ ıas 5.1. Librer´ Jama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 5.2. Librer´ Ejml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 5.3. Librer´ JMathLib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa Ap´ndices e A. Pendulo.m B. Simulaci´n alternativa.m o C. C´digo fuente appleto D. Regulador

41 41 44 45 46 46 47 47 51 53 53 54 55 58 61 67 73 87

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´ Indice de figuras
1.1. Esquema p´ndulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1. Diagramas de cuerpo libre del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Respuesta F.D.T en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Respuesta medianteespacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Diagrama en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Regulador P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. PID: Respuesta ante impulso de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. PID: Respuesta ante incremento proporcional . ....