Simulacion De Sistemas
Páginas: 5 (1084 palabras)
Publicado: 6 de noviembre de 2012
LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuascon asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a laizquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre
positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también lafunciónGamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.
LOS PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN
El primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunasfuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero
aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman
valores másgrandes de (α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareceiendola forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el que
determina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad
en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más densidad de
probabilidad en el extremoderecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando laprobabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de
probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de (β)
conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más
elevado. Una forma de interpretar (β) es “tiempopromedio entre ocurrencia de un suceso”.Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio deocurrencia: λ=1/β.
RELACIÓN CON OTRAS DISTRIBUCIONES
Si
se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gammaconverge con la distribución normal. De media , y varianza . Cuando y β la distribución Gammaes exactamente ladistribución exponencial con parámetro (α=1). Cuando la propo
rción entreparámetros es entonces la variable aleatoria se distribuye como una Chi-cuadrado con grados de
libertad. Si α=1, entonces se tiene la distribución exponencial negativa de parámetro λ=1/β.
VENTAJAS
De esta forma, la distribución Gamma es una distribución flexible para modelizar las formas dela asimetría positiva, de lasmás concentradas y puntiagudas, a las más dispersas y achatadas.Como ejemplos de variables que se comportan así: - Número de individuos involucrados enaccidentes de tráfico en el área urbana: es más habitual que la mayoría de partes abiertos den laproporción de 1 herido por vehículo, que otras proporciones superiores. - Altura a la que seinician las precipitaciones; sucede de forma más habitualprecipitaciones iniciadas a una alturabaja, que iniciadas a gran altitud. - Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos quesiguen una distribución de Poisson. - Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoríapresentan una menor finura que unas pocas fibras más gruesas.
Inconvenientes
Problemas en la complejidad de algunos cálculos, especialmente respecto a la función Gamma
cuando elparámetro α es un valor no entero
Ejemplos de distribución Gamma
Ejemplo 1.
En un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribución gamma para modelizarel número de víctimas en accidentes de tráfico. Como es más habitual la proporción de 1ocupante por vehículo siniestrado, y es más rara la probabilidad de 4 ó 5 ocupantes porvehículosiniestrado, se crea una distribución gamma para modelizar el número de víctimas por accidentede tráfico. El 38% de la distribución lo acumula la proporción 1 accidentado por accidente, el36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un 3% para 5:1. La media del modelo es 1,5
víctimas por accidente, pero no indican el valor de los parámetros α y β tomados en cuenta.
Ejemplo 2.
También en el...
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuascon asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a laizquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre
positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también lafunciónGamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.
LOS PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN
El primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunasfuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero
aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman
valores másgrandes de (α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareceiendola forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el que
determina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad
en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más densidad de
probabilidad en el extremoderecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando laprobabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de
probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de (β)
conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más
elevado. Una forma de interpretar (β) es “tiempopromedio entre ocurrencia de un suceso”.Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio deocurrencia: λ=1/β.
RELACIÓN CON OTRAS DISTRIBUCIONES
Si
se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gammaconverge con la distribución normal. De media , y varianza . Cuando y β la distribución Gammaes exactamente ladistribución exponencial con parámetro (α=1). Cuando la propo
rción entreparámetros es entonces la variable aleatoria se distribuye como una Chi-cuadrado con grados de
libertad. Si α=1, entonces se tiene la distribución exponencial negativa de parámetro λ=1/β.
VENTAJAS
De esta forma, la distribución Gamma es una distribución flexible para modelizar las formas dela asimetría positiva, de lasmás concentradas y puntiagudas, a las más dispersas y achatadas.Como ejemplos de variables que se comportan así: - Número de individuos involucrados enaccidentes de tráfico en el área urbana: es más habitual que la mayoría de partes abiertos den laproporción de 1 herido por vehículo, que otras proporciones superiores. - Altura a la que seinician las precipitaciones; sucede de forma más habitualprecipitaciones iniciadas a una alturabaja, que iniciadas a gran altitud. - Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos quesiguen una distribución de Poisson. - Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoríapresentan una menor finura que unas pocas fibras más gruesas.
Inconvenientes
Problemas en la complejidad de algunos cálculos, especialmente respecto a la función Gamma
cuando elparámetro α es un valor no entero
Ejemplos de distribución Gamma
Ejemplo 1.
En un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribución gamma para modelizarel número de víctimas en accidentes de tráfico. Como es más habitual la proporción de 1ocupante por vehículo siniestrado, y es más rara la probabilidad de 4 ó 5 ocupantes porvehículosiniestrado, se crea una distribución gamma para modelizar el número de víctimas por accidentede tráfico. El 38% de la distribución lo acumula la proporción 1 accidentado por accidente, el36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un 3% para 5:1. La media del modelo es 1,5
víctimas por accidente, pero no indican el valor de los parámetros α y β tomados en cuenta.
Ejemplo 2.
También en el...
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