simulacion deterministica

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ENSENANZA

REVISTA MEXICANA DE F´
ISICA 49 (3) 283–289

JUNIO 2003

El an´ lisis de Fourier de las trayectorias planetarias y el modelo copernicano del
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sistema solar
J.A. Peralta
Escuela Superior de F´sica y Matem´ ticas, Instituto Politecnico Nacional,
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Edificio 9, UP ALM, Zacatenco, 07738 M´ xico, D.F.
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A. Calles y E. Y´ pez
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Facultad de Ciencias, Universidad NacionalAut´ noma de M´ xico,
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Apartado Postal 70-646, 04510 M´ xico, D.F.
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Recibido el 30 de julio de 2002; aceptado el 21 de octubre de 2002
Los dos modelos mas importantes del sistema solar que preceden a la mec´ nica de Newton y a su teor´a de la gravitaci´ n universal, son los
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elaborados por Kepler y por Cop´ rnico. La relaci´ n entre el modelo de Kepler y el trabajo de Newton esampliamente discutida en todos los
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libros de texto; sin embargo, la relaci´ n entre el modelo de Cop´ rnico, que define la posici´ n de los planetas en funci´ n del tiempo a partir de
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una superposici´ n de movimientos circulares y la mec´ nica de Newton usualmente se evita. En este trabajo usamos dos t´ cnicas num´ ricas,
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sencillas y utiles, para mostrar c´ moesto es f´ cilmente realizable: con el algoritmo de Verlet resolvemos las ecuaciones diferenciales no en
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coordenadas polares, como es lo usual, sino en coordenadas cartesianas y aplicando el m´ todo de la transformada r´ pida de Fourier hacemos
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el an´ lisis de los t´ rminos de la serie de tiempo, que de una manera natural generan el deferente y epiciclos del modelo copernicano para ela
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movimiento de cada planeta.
Descriptores: Mec´ nica celeste; m´ todos num´ ricos.
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The most important models before newtonian mechanics and the law of gravitation were stablished by Kepler and Copernicus. The relation
between Newton’s theory and Kepler’s laws of planetary motion is widely discussed in textbooks; however, the relation with the model of
Copernicus, where theposition of a planet as a function of time is described as combination of circular motions, is usually avoided. In this
work we use two simple and useful numerical techniques to show that this relation is easily performed. We use the algorithm of Verlet to
solve the differential equations, not in polar coordinates as is usually done, but in cartesian coordinates, we also use the fast Fouriertransform
method to analyse the time series that in a natural way generate the deferent and epicicles of the Copernicus’ model.
Keywords: Celestial mechanics; numerical methods.
PACS: 02.30Nw; 02.60Jh; 95.10Ce

1. Introducci´ n
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Las observaciones del cielo han jugado un papel esencial en
el desarrollo del pensamiento cient´fico desde los griegos y
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hasta nuestros d´as. Aun cuando podemossuponer que iniı
cialmente la observaci´ n del movimiento del Sol y de las eso
trellas estuvo orientada por motivos eminentemente pr´ ctia
cos, pronto los observadores de los cielos superaron estos
l´mites para moverse en el plano del inter´ s propiamente
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cient´fico.
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La primera impresi´ n que suscita la observaci´ n del cieo
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lo a lo largo de toda una noche, es que las estrellas rotanen
c´rculos manteniendo sus posiciones relativas. Esto dio lugar
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entre los griegos a la creaci´ n de un primer modelo del Unio
verso, en el cual la Tierra se encuentra fija en el centro de una
esfera en la que se encuentran adheridas las estrellas y que rota con un per´odo de 24 horas aproximadamente. Este modelo
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habr´a bastado a los que buscaban representarse mentalmente
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elmovimiento del cielo; sin embargo, siete astros no se com´
portaban de una manera tan simple, y estos eran: el Sol, la
Luna, Mercurio,Venus, Marte, J´ piter y Saturno.
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En efecto, con respecto al marco de referencia de las estrellas fijas aparentemente adheridas a la superficie de una es-

fera muy distante, el Sol se iba desplazando d´a con d´a sobre
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una trayectoria cerrada, la “ecl´ptica”,...