Simulacion submarino

´ TRABAJO DE SIMULACION
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Jos´ Roberto Cuar´n Valenzuela e a COD. 261384

26 de mayo de 2010
Resumen En el presente informe se describe la modelaci´n en variables de estado o de un submarino; este sistema consta de 8 variables de estado que en su representaci´n matricial dan lugar a una matriz A de 8x8; si el objetivo o es encontrar la funci´n de transferenciade cada salida con respecto a o cada una de las entradas se requiere encontrar la inversa de una matriz semejante a A que de hacerlo anal´ ıticamente ser´ muy engorroso. Dada ıa esto lo m´s pr´ctico es utilizar herramientas computacionales, para este a a caso: Matlab

1. Representaci´n en el espacio de estado o del sistema
Despues de realizar unos tantos despejes de las ecuaciones yaespecificadas, se obtienen las siguientes expresiones para cada variable de estado: x1 (t) = ˙
u0 π x (t) 180 4

+ x5 (t)

x2 (t) = x6 (t) − ˙ x3 (t) = x7 (t) ˙ x4 (t) = x8 (t) ˙

u0 π x (t) 180 3

x5 (t) = A5 x5 (t) + B5 x8 (t) + C5 u1 (t) ˙ x6 (t) = A6 x3 (t) + B6 x6 (t) + C6 x7 (t) + D6 u2 (t) + E6 u3 (t) ˙ x7 (t) = A7 x3 (t) + B7 x6 (t) + C7 x7 (t) + D7 u2 (t) + E7 u3 (t) ˙ x8 (t) = A8 x5 (t) + B8x8 (t) + C8 u1 (t) ˙

1

donde las constantes A5 a C8 est´n dadas por las expresiones siguiena tes: Y r Nv ˙ ˙ N5 = 1 − 2
(m −Yv )(m kzz −Nr ) ˙ ˙
Yr Nv u0 Y v u0 ˙ + 2 L(m −Y ) L(m −Y )(m kzz −N ) v ˙ v ˙ r ˙ N5 u0 π(Yr −m ) Yr Nr u0 π ˙ 2 180(m −Y )(m kzz −N ) v ˙ r ˙ N5

A5 =

B5 =

180(m −Y ) v ˙

+

C5 =

Yr Nδr u2 π Yδr u2 π 0 0 ˙ + 2 180L(m −Y ) 180L(m −Y )(m kzz −N ) v˙ v ˙ r ˙ N5

N6 = 1 −

Zq Mw ˙ ˙ (m −Zw )(m kyy 2 −Mq ) ˙ ˙

A6 =

−2πZq (ZG W −ZB B) ˙ 180ρL4 (m kyy 2 −M )(m −Z ) q ˙ w ˙

N6
Zw u0 L(m −Z

+
w ˙ )

Z q Mw u 0 ˙ L(m kyy 2 −M )(m −Z ) q ˙ w ˙

B6 =

N6
u0 π(Zq +m )

C6 =

180(m −Z

+

Z q Mq u 0 π ˙ 180(m kyy 2 −M )(m −Z ) q ˙ w ˙

w ˙

)

N6
Zq Mδb u2 π Zδb u2 π 0 ˙ 0 + 180L(m −Z ) L180(m kyy 2 −M )(m −Z ) w˙ q ˙ w ˙

D6 =

N6
Zδs u2 π 0 180L(m −Z

+
w ˙ )

Zq Mδs u2 π 0 ˙ L180(m kyy 2 −M )(m −Z ) q ˙ w ˙

E6 =

N6 Mw Zq ˙ ˙ (m −Zw )(m kyy 2 −Mq ) ˙ ˙

N7 = 1 − A7 =

−2(ZG W −ZB B)) ρL5 (m kyy 2 −Mq )N7 ˙
Mw Zw u0 ˙ L(m −Z ) w ˙ LπN7 (m kyy 2 −Mq ) ˙ 180 Mw u 0 L

+

B7 =

M q u0 +

Mw u0 (Zq +m ) ˙ (m −Z ) w ˙

C7 =

N7 L(m kyy 2 −Mq ) ˙
Mδb u2 0 L

+

D7 =

N7L(m
Mδs u2 0 L

Mw Zδb u2 0 ˙ L(m −Z ) w ˙ kyy 2 −Mq ) ˙

+

E7 =

N7 L(m

Mw Zδs u2 0 ˙ L(m −Z ) w ˙ kyy 2 −Mq ) ˙

2

N8 = 1 −

Nv Y r ˙ ˙ (m −Yv )(m kzz 2 −Nr ) ˙ ˙ +

A8 =

Nv Yv u0 ˙ L(m −Y ) v ˙ LπN8 (m kzz 2 −Nr ) ˙ 180 Nv u0 L

Nr u 0 +

B8 =

Nv u0 (Yr −m ) ˙ (m −Y ) v ˙ N8 L(m kzz 2 −Nr ) ˙

Nδr u2 0 L

+

C8 =

N8 L(m

Nv Yδr u2 0 ˙ L(m −Y ) v ˙ 2 −N) kzz r ˙

Las expresiones para las salidas son: y1 (t) = x2 (t) y2 (t) = x1 (t) Finalmente la representaci´n en variables de estado en su forma mao tricial queda como sigue:             x1 ˙ x2 ˙ x3 ˙ x4 ˙ x5 ˙ x6 ˙ x7 ˙ x8 ˙   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − u0 π 180 0 0 0 A6 A7 0
u0 π 180

          =          

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 A5 0 0 A80 1 0 0 0 B6 B7 0

0 0 1 0 0 C6 C7 0

0 0 0 1 B5 0 0 B8

           

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

            +          

0 0 0 0 C5 0 0 C8

0 0 0 0 0 D6 D7 0

0 0 0 0 0 E6 E7 0

      u1    u2    u3   

O en forma corta: x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙             x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8       +      0 0 0 0 0 0  u1  u2  u3

y1 y2

=

0 1

1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

y en forma corta: y(t) = Cx(t) + Du(t) Utilizando las constantes dadas en el archivo constantes.m se determina A5 = −0,3021 B5 = −0,0184 C5 = 0,0059

3

A6 = 7,4532e − 012 B6 = −0,1463 C6 = −0,0066 D6 = −0,0039 E6 = −0,0039 A7 = −2,0051e − 009 B7 = 0,0672 C7 = −0,0651 D7 = 0,0021 E7...