Simulacion

´ ´ SIMULACION, ALGUNOS METODOS Y APLICACIONES
Hugo Carrasco
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Resumen La palabra simulaci´n, actualmente, es de uso corriente y cotidiano; su significado o es, seg´n la Real Academia, representar una cosa, fingiendo o imitando lo que no u es. En estad´ ıstica, simular es esencialmente una t´cnica de muestreo controlada, que es e usada en conjunto con un modelo, para obtener respuestasaproximadas a preguntas respecto de complicados problemas probabil´ ısticos. Esto es muy usado cuando las t´cnicas anal´ e ıticas y num´ricas no son capaces de dar respuestas. Cuando los e modelos tienen una formulaci´n matem´tica, pero las predicciones anal´ o a ıticas no son posibles, entonces es frecuente que simular se transforme en una poderosa herramienta, no solo para describir el modelo en simismo, sino para investigar como puede cambiar el comportamiento ante cambios de los par´metros del modelo. a Analizaremos el m´todo Monte Carlo, desarrollado por John von Neumann y S. e M. Ulam, durante el proyecto Manhattan A partir del m´todo Monte Carlo desarrollaremos algunos algor´ e ıtmos particulares para variables aleatorias no uniformes, primeramente, y dada la importancia, trabajaremos convariables aleatorias con distribuci´n Normal, luego, nos concentraremos o en algunas otras variables absolutamente continuas (por ejemplo Exponencial, Gamma, Chi-cuadrado), y por ultimo, veremos algunas t´cnicas para algunas variables ´ e aleatorias discretas (por ejemplo Bernoulli, Binomial, Poisson). Para casos m´s generales desarrollaremos algunos de los m´todos de transformaa e ci´n devariables uniformes. o Por ultimo analizaremos algunas implementaciones inform´ticas en R y las po´ a tencialidades de estos m´todos. e

Palabras clave: simulaci´n, m´todo Monte Carlo, variables aleatorias o e

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Departamento de M´todos Matem´ticos-Cuantitativos, email: carrasco@ccee.edu.uy e a

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1.

M´todo de Monte Carlo e

El m´todo de Monte Carlo o simulaci´n cruda, es la generaci´nde n´meros aleatorios u e o o u observaciones de una variable aleatoria uniforme, en general lo haremos en el intervalo [0,1]. Estos n´meros son seleccionados de manera que cada uno de ellos tenga igual prou babilidad de salir, sin tener en cuenta cuantas veces ya haya salido. Se pueden generar de diversas maneras, utilizando tablas, bolilleros, computadoras, etc.. En libros, relativamenteantiguos, se hace referencia a tablas de n´meros aleatorios, que u eran usadas en selecci´n de muestras o para establecer dise˜os experimentales; actualo n mente es muy raro ver a un Estad´ ıstico usando una tabla impresa de n´meros aleatorios, u ocasionalmente tendr´ acceso a alguna de esas tablas por medio de su computador, auna que en general su computador es usado para generar n´meros aleatorios. uLas computadoras no pueden generar n´meros aleatorios, y esto no es conveniente para u conectar la computadora con eventos aleatorios externos. Para la mayor parte de las aplicaciones estad´ ısticas, esto no es un problema ya que existen muchos m´todos de generaci´n e o de n´meros pseudo-aleatorios, cuyas muestras se comportan como si fueran aleatorios. u Existen infinidad de estos m´todos, engeneral aplican f´rmulas recurrentes bas´ndose en e o a un valor inicial, estos m´todos no ser´n tratados en el presente trabajo, solo supondremos e a que tenemos la posibilidad de obtener los n´meros aleatorios. u En general, no se hacen distinciones precisas respecto a los t´rminos simulaci´n, Monte e o Carlo y remuestreo.

2.

M´todos particulares para variables aleatorias e no uniformes

Eneste cap´ ıtulo tratar´mos algunos m´todos de simulaci´n para algunas distribuciones e e o particulares, para nada es exhaustivo, pues solo veremos los que nos resultaron de mayor inter´s y simpat´ e ıa.

2.1.

Variables aleatorias con distribuci´n Normal o

Dada la importancia para la estad´ ıstica de las varialbles aleatorias con distribuci´n noro mal es que haremos un desarrollo de...