SINTITUL 3

TRILCE

Capítulo

3

RAZONES Y PROPORCIONES

INTRODUCCIÓN

RAZÓN GEOMÉTRICA:

En nuestra vida diaria, aparecen con mucha frecuencia
algunas afirmaciones como:
* Las edades de Juana y Rosa son 18 años y 16 años
respectivamente.
* Tengo 2 vinos : Uno de 800 ml y el otro de 640 ml.
* El sueldo de Víctor el mes pasado fue S/. 1500 y este
mes será S/. 1800
Podemos observar que las edades, losvolúmenes y el dinero
pueden ser medidos o contados, a los cuales se les llama
magnitudes escalares.

Ejemplo:

Obs: Hay magnitudes no medibles como la alegría, la
memoria; por lo tanto no pueden expresarse numéricamente,
por ello no las consideraremos en este texto.

En conclusión:
Sean a y b dos cantidades:

CANTIDAD:
Es el resultado de la medición del estado de una magnitud
escalar.

2
Se comparan dosterrenos, cuyas superficies son: 80 m y

48 m 2 y así obtenemos:

Antecedente
Consecuente

80m 2  5
3
48m 2

Valor de la razón

Razón Geométrica

Razón

Aritmética

Geométrica

a-b  d

a
k
b

Ejemplo:
La altura del edificio Trilce Arequipa es 24 metros.

a : antecedente
b : consecuente
d y k : valores de las razones

Magnitud : Longitud
Cantidad : 24 metros

PROPORCIÓN
Es la igualdad de dosrazones de una misma especie.

Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido o
cuantificado; además, puede definirse la igualdad y la suma
de sus diversos estados.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

RAZÓN:
Es la comparación que existe entre dos cantidades de una
magnitud, mediante las operaciones de sustracción y
división.

Ejemplo:
Las edades de 4 hermanos son : 24 años, 20 años, 15 años
y 11 años;podemos decir :
24 años  15 años = 9 años
20 años  11 años = 9 años
Se puede establecer la siguiente igualdad:

RAZÓN ARTIMÉTICA:

Medios
Ejemplo:
Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivamente,
al comparar sus volúmenes.

Razón Aritmética
20l

-

15l = 5l

24 - 15 = 20 - 11
Extremos
A la cual se le llama proporción aritmética.

Valor de la razón
Antecedente
Consecuente
31

AritméticaPROPORCIÓN GEOMÉTRICA:
II.

a  b  c d , a b  c d
b
d
a
c

III.

ab  cd
ab cd

Ejemplo:
Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son 9 m 2 ; 12m 2 ;

15 m 2 y 20 m 2 al comprarlos se tiene:
9m2  3
15m 2  3

2
4
12m
20 m 2 4
Se puede establecer la siguiente igualdad:

SERIE
DE
EQUIVALENTES

RAZONES

GEOMÉTRICAS

Sean:

9  15
12 20

a1

A la cual se le llama proporción geométrica
"9 es a12, como 15 es a 20"
De donde:
(9)(20) =

(12)(15)

Extremos

Medios

NOTA:
"Cuando los medios son diferentes, la proporción se llama
discreta, pero cuando los medios son iguales se llama
continua"

a
 2 
c1 c 2

a1  c1k ; a 2  c 2k ; ......... ; a n  c n k
Se cumple las siguientes propiedades:

I.

II.

d : cuarta diferencial

b : media diferencial
c : tercera diferencial

a1  a 2  ... a n
c1  c 2  ...  c n
a1  a 2  ...  a n
c1  c 2  ...  c n

a
a
 1  2  ... 
c1 c 2

an
cn

k

 kn

a m  a m  ...  a m
n
III.

a-b=b-c

a
 ......  n  k
c3
cn

De donde:

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

a-b=c-d

a3

1
2
 km
m
m
m
c  c  ...  c
1
2
n

Obs: Donde "n" nos indica el número de razones.
Ejemplo:
Sea la siguiente serie:

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
4  12  18  k
se cumple:
6 1827

a c

b d
d : cuarta proporcional

a  b
b c

I.

k  4  12  18  34  2
6  18  27 51 3

II.

k 3  4  12  18 simplificando
6  18  27

b : media proporcional
c : tercera proporcional

k3  8  k  2
27
3

PROPIEDADES DE PROPORCIONES
Sea a  c se cumple:
b d

ab  cd , ab  cd
b
d
a
c

I.

32

III.

5
5
5
25 (25  6 5  95 )
k 5  4  12  18 
5
5
5
6  18  27
35 (25  6 5  9 5 )5
k5  2  k  2
3
35

TRILCE

EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Dos números están en la relación de 2 a 5, si se añade
175 a uno y 115 al otro se hacen iguales.
¿Cuál es la diferencia entre estos números?
a) 24
d) 84

b) 18
e) 60

5
b)
4
3
e)
2

7
c)
3

03. En un salón de clase el número de varones, es al
número de mujeres como 3 es a 5. Si se considera al
profesor y una alumna menos, la nueva...