SINTITUL 9

TRILCE

Capítulo

13

SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMAS LINEALES
Forma General :
Consideremos un sistema lineal de "m" ecuaciones
con "n" incógnitas.

..........

a11x1  a12x 2  a13 x 3  ....  a1n x n  b1

a 21x1  a 22 x 2  a 23 x 3  ....  a 2 n x n  b 2




a n 1 x 1  a n 2 x n  a n 3 x 3  ...  a nn x n  bn


..........

..........

a11x1  a12 x 2  a13 x 3  ......... a1n x n  b1

a 21x1  a 22x 2  a 23 x 3  .........  a 2 n x n  b 2




a m1x 1  a m 2 x 2  a m 3  x 3  ...  a mn x n  bn


Resolución de un Sistema lineal según el Método de
Cramer :
Dado un sistema lineal de "n" ecuaciones con "n"
incógnitas :

Donde :

Consideremos :
1.

Determinante del Sistema (  s )

x1 , x 2 , x 3 , .........  x n son las incógnitas, siendo el
conjuntosolución de la forma :

s 
CS  {(x1 ; x 2 ; x 3 ; ..... x n )}
Observación :
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales,
existen diversos métodos como por ejemplo :
*
*
*
*
*

Método
Método
Método
Método
Método

de Sustitución.
de Reducción.
de Igualación.
Matricial.
de Cramer (Determinantes).

Sistema Lineal Homogéneo :
Es aquel donde los términos independientes son
nulos (ceros).
Ejemplo:

x  2y  z  0 ....... (1)

2x  y  z  0 ....... (2)
x  3y  2z  0 ..... (3)


2.

a11 a12
a 21 a 22

a13  a1n
a 23  a 2n

an2

a n 3  a nn


a n1

Determinante de una Incógnita (  i )
Se obtiene a par tir del determinante anterior,
reemplazando los elementos de la columna de
coeficientes de la incógnita en referencia por los
términos independientes.

i 

a11
a 21

a12  b1 a1n
a 22  b2  a 2n


a n1 a n 2  b n  a nn

cada incógnita del sistema se obtendrá, según la relación.

xi 

i
s

;  i  1; n

Un sistema lineal homogéneo siempre es compatible
donde una de sus soluciones es la solución trivial (cada
incógnita es igual a cero). Para el ejemplo :
Solución trivial = (0; 0; 0).
Asimismo, el sistema lineal homogéneo puede tener
otras soluciones, las llamadas notriviales.
131

Álgebra
Ejemplo :

Análisis de las Soluciones de un Sistema Lineal
Dado el sistema :

Resolver :

a11x1  a12x 2  a13 x 3  ....  a1n x n  b1

a 21x1  a 22 x 2  a 23 x 3  ....  a 2 n x n  b 2




a n 1 x 1  a n 2 x 2  a n 3 x 3  ...  a nn x n  bn

..........

2x  5 y  7 ...... (1)

3x  2y  3 ...... (2)
observar que :

s 

x 

2

5

3 2

7

5

32

 (2)(2)  (3)(5)
= -4 - 15 = -19

donde la solución se obtiene a partir de :

 (7)(2)  (3)(5)

xi 

= -14 - 15 = -29

y 

2 7
3 3

1.

x

s

 s , luego :
El sistema tiene solución única, si y sólo si:
 s  0 .

 (2)(3)  (3)(7)
2.

= 6 - 21 = -15

x

i

El sistema tiene infinitas soluciones, si y sólo si:
i  0   s  0 .

 x  29
19

3.

El sistema no tiene solución si siendo  0 , existe
s
algún  i  0 .

y

y
 y  15
s
19

Propiedad
Un caso particular de lo visto anteriormente se
presenta en el sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas :



 CS  ( 29 ; 15 )
 19 19 
Teorema : Dado el sistema lineal homogéneo.

1.

..........

a11x 1  a12 x 2  a13 x 3  ....  a1n x n  0

a 21x1  a 22x 2  a 23 x 3  ....  a 2n x n  0




a n 1 x1 a n 2 x 2  a n 3 x 3  ...  a nn x n  0


ax  by  c .... (1)
a x  b y  c .... (2)
 1
1
1

si este admite soluciones aparte de la trivial, el determinante
del sistema deberá ser nulo, es decir:

a11
a 21

a12
a 22

a13  a1n
a 23  a 2n


a n1 a n 2 a n3  a nn

El sistema será compatible determinado, es decir,
tendrá solución única, si se verifica:

a  b

a1 b1

2.

El sistema serácompatible indeterminado, es decir,
tendrá infinitas soluciones, si se verifica :
a  b  c
a1 b1 c1

0
3.

El sistema será incompatible, es decir no tendrá
solución si se verifica :

a
b
c


a1 b1 c1

132

TRILCE
SISTEMAS NO LINEALES

Como : x = Ky  x = 3y  x = y

Criterios de Resolución :

en (1) con x = 3y : 9 y 2  9 y 2  3 y 2  21

1.

21y 2  21

Si el sistema está...