Sismica

CAPITULO 5

Respuesta a carga dinámica general

1. RESPUESTA A FUERZAS VARIANDO ARBITRARIAMENTE CON EL TIEMPO
En esta parte se desarrolla un procedimiento general para analizar un sistema de un grado de libertad sujeto a una fuerza p(t) variando arbitrariamente con el tiempo. Este resultado permite evaluar analíticamente la respuesta a fuerzas descritas por funciones simples del tiempo.Buscamos la solución de la ecuación diferencial de movimiento para un sistema de un grado de libertad

[pic]
sujeto a las condiciones iniciales:
[pic] y [pic]

En el desarrollo de la solución general, p(t) se interpreta como una secuencia de impulsos de duración infinitesimal y la respuesta del sistema a p(t) es la suma de las respuestas de los impulsos individuales. Estas respuestasindividuales pueden convenientemente ser escritas en términos de la respuesta del sistema a un impulso unitario

2. RESPUESTA A UN IMPULSO UNITARIO

Una fuerza muy grande que actúa en un tiempo muy corto pero con una integral en el tiempo que es finita se llama una fuerza impulsiva. La Fig. 5.1 muestra la fuerza p(t) = [pic], con una duración [pic] empezando en el instante t = [pic]. Cuando [pic]se aproxima a cero la fuerza resulta infinita; sin embargo, la magnitud del impulso, definida por la integral del tiempo de p(t), permanece igual a la unidad. Esta fuerza cuando [pic]se llama el impulso unitario. La función delta de Dirac [pic]matemáticamente define un impulso unitario centrado en [pic]. De acuerdo con la Segunda Ley de Newton del movimiento, si una fuerza p actúa sobre un cuerpode masa m la razón de cambio del momentum del cuerpo es igual a la fuerza aplicada, esta es,
[pic] (5.1)
Para una masa constante, esta ecuación resulta
[pic] (5.2)
Integrando ambos miembros con respecto al tiempo t da
[pic] (5.3)

La integral del lado derecho de esta ecuación es la magnitud del impulso. Este producto de la masa y la velocidad es el momentum o cantidad demovimiento. Así la ec.(5.3) establece que la magnitud del impulso es igual al cambio en momentum.

[pic]
Fig. 5.1
Este resultado es también aplicable a un sistema masa-resorte-amortiguador si el resorte y el amortiguador no tiene efecto. Tal es el caso si la fuerza actúa para una duración infinitamente corta de modo que el resorte y el amortiguador no tengan tiempo de responder. Así el impulsounitario en [pic]imparte a la masa, m, la velocidad [de la ec.(5.3)]
[pic] (5.4)
Pero el desplazamiento es cero antes y hasta el impulso
[pic] (5.5)

Un impulso unitario causa vibración libre de un sistema de 1gdl debido al desplazamiento y velocidad iniciales dadas por las ecs. (5.4) y (5.5). Sustituyendo éstas en la ecuación

[pic] (5.6)
Se obtiene la respuesta a unsistema no amortiguado
[pic] (5.7)
Similarmente, usando la ec.(2.15) proporciona el resultado para sistemas con amortiguamiento viscoso

[pic] (5.8)
Estas funciones de respuestas de impulso unitario, denotado por [pic], se muestra una para un sistema no amortiguado en la Fig. 5.1

3. INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO

Fig. 5.2 Derivación de la integral de Duhamel (casono amortiguado)

El procedimiento descrito en el Capítulo 4 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la Fig. 5.2, mas específicamente la intensidad de carga [pic] actuando en el tiempo t=(. Esta carga que actúa durante el intervalo corto de tiempo d(produce un impulso de corta duración p(()d( sobre la estructura y la ec.(5.7) puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para un intervalo de tiempo d(, la respuesta producida por la carga [pic] es:

[pic], t >( (5.9)

En esta expresión el...