Sist Control II 3

Control II

Capítulo 3: Diseño de Sistemas de Control en Espacio de Estado

Capítulo 3
Diseño de Sistemas de Control en
Espacio de Estado
3.1 Introducción
En la teoría de control convencional o clásica, sólo se consideran importantes las señales de
entrada, de salida y de error; el análisis y diseño se efectúan utilizando funciones de
transferencia, junto con una serie de técnicas gráficas comolos diagramas del lugar de las
raíces y los de Bode.
La desventaja principal de la teoría de control convencional, es que, en general, sólo
se aplica a sistemas lineales, invariantes en el tiempo, con una entrada y una salida. Las
técnicas convencionales no tienen aplicación en sistemas de control óptimos o adaptables,
que en su mayoría son variables en el tiempo y/o no lineales.
Un sistemacomplejo puede tener varias entradas y salidas (sistema multivariable)
relacionadas entre sí. El análisis de estos sistemas requiere reducir la complejidad de las
expresiones matemáticas y recurrir a las computadoras para la solución de los cálculos
tediosos. El método más adecuado para el análisis de estos sistemas, es el método en el
espacio de estado. Sin embargo, para el diseño de controladores enEspacio de Estado, se
requiere que el modelo del proceso o planta sea completamente controlable y
completamente observable. En caso de que no fuera completamente observable, se debe
implementar observadores de estado, que permitan estimar las variables de estado, las
cuales estarán ahora sí disponibles como entradas a cada uno de los elementos del
controlador._____________________________________________________________________
M. SC., Ing. Raúl Benites Saravia

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Control II

Capítulo 3: Diseño de Sistemas de Control en Espacio de Estado

3.2 Controlabilidad
Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible
transferir el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado, en un
periodo finito. Es decir, un sistema de control escontrolable si todas las variables de
estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna señal de control
restringida.
Para que un sistema sea completamente controlable se debe cumplir que el rango de
la matriz de controlabilidad sea igual al orden del sistema, es decir:



M  B AB  An1 B







Rango M  B AB  An1 B  n

(3.1)

Ejemplo 3.1 Considere el modelo de unadeterminada planta, definido por:

1  x1   0 
 x1   0
   
    u
 x 2    2  3  x2   1 
x 
y  1 0 1 
 x2 
Verifique su controlabilidad.
Solución
La matriz de controlabilidad es:

M  B

0 1 
  Rango M  2  n  es C.C.
AB   
1

3



3.3 Observabilidad
Se dice que un sistema es totalmente observable, si cada estado x(to) se puede determinara partir de la observación de y(t) en un intervalo de tiempo finito t o <= t <= t1. Por lo
tanto, el sistema es completamente observable, si cada transición del estado, afecta
eventualmente a cada elemento del vector de salida.
El sistema descrito es totalmente observable si y solo si el rango de la matriz de
observabilidad sea igual al orden del sistema, es decir:_____________________________________________________________________
M. SC., Ing. Raúl Benites Saravia

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Capítulo 3: Diseño de Sistemas de Control en Espacio de Estado

 C 
 C 




 CA 
 CA 
N 
; Rango 
n
 
 
 n1 
 n1 
CA


 CA 

(3.2)

Ejemplo 3.2 Considere el modelo de una determinada planta, definido por:

1  x1   0 
 x1   0
   
    u
x

2

3

 x2   1 
 2
x 
y  1 0 1 
 x2 
Verifique su Observabilidad.
Solución
La matriz de Observabilidad es:

 C  1 0
  Rango N  2  n  es C.O.
N     
 CA  0 1 

3.4 Diseño de sistemas de control por el método de Localización
de Polos
El diseño por Localización de Polos usa el esquema de control por realimentación de
estados, que es más versátil que el diseño de...