Sist Ecuac 2011


Sistemas de Ecuaciones
Profesora: Alejandra Reyes O.
Curso: 2º Año Medio

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas.

Este año trabajaremos sistemas con dos ecuaciones y dos incógnita (llamados 2x2) y con 3 ecuaciones y 3 incógnitas (3x3)

Una solución al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al remplazarlas en lasecuaciones se satisface la igualdad. Expresaremos las soluciones de un sistema de ecuaciones como pares ordenados (x, y) o (x,y,z) según sea el caso.

Cada ecuación en un sistema se representa por medio del gráfico de una línea recta.

Técnicas de resolución de sistemas de 2x2

1) Resolución Gráfica:
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico debemos de:

Sea el sistema:


Primero, sedespeja la incógnita y para escribirlo en la forma de una ecuación principal, como sigue:
L1 : y = –3x + 4
L2 : y = 2x – 1

Para trazar las rectas, se asignan dos valores distintos a x, y se calcula el correspondiente valor de y, en cada caso.
Se marcan estos dos puntos en el plano cartesiano. Luego, se traza la recta que pasa por estos dos puntos, y se repite el procedimiento para la otraecuación.

En este caso, en la primera ecuación, si x = 0, entonces y = 4,
esto corresponde al punto A(0, 4).

Por otro lado, si x = 2, entonces y = –2,
que corresponde al punto B(2, –2).

De la misma manera, en la segunda ecuación, si x = 0, entonces y = –1;
esto corresponde al punto C(0, –1).
si x = 2, entonces y = 3, que corresponde al punto D(2, 3).

Con esto se pueden graficar ambas rectascomo lo muestra el siguiente grafico

Las rectas se intersecan en el punto E(1, 1). Entonces, x = 1, y = 1 es solución
del sistema.



2) Resolución por igualación
Tenemos que resolver el sistema:


esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación.
Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistemaequivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:


Luego:


 Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):


Operamos para hallar el valor de y:


y=2

Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):



 Ahora sí,podemos asegurar que x= 4 e y = 2

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones.

3) Resolución por sustitución.
Tenemos que resolver el sistema:


Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora: Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):



Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.

4) Resolución por reducción
Tenemos que resolver el sistema:


El objetivo es eliminar una delas incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.
También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:

Con lo que obtenemos:

 Y la sumamos laprimera obteniéndose:
-7y = -14
y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

Y finalmente hallar el valor de x:

Ejercicio: Resuelve por este método:



5) Resolución por determinante
Sabemos que un determinante se representa como:


Este se calcula de la siguiente manera: ∆= a·d – b·c

Sea el sistema: a1x + b1y = c1
a2x + b2 y = c2

El valor de x e y está dado por:...