SistDig_Clase2

Apuntes de Clases
Sistemas Digitales
Clase 2

2.- Álgebra de Boole
Def:

Variable: Símbolo ∈ {0,1}= |P en cualquier instante
Constante: Símbolo que toma un valor de |P para
todo tiempo
x=0 ⇔ x ≠1

Def:

∧

x=1 ⇔ x ≠ 0

operaciones sobre variables y constantes

OR (+)
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1

AND (*)
00=0
01=0
10=0
11=1
Tabla 9

NOT (-)

0 = 1
1 = 0

Cumplen las siguientes propiedades sobre |Pi) Elemento Idéntico (neutro)
0
1

para
para

OR
AND

x+0= x
x • 1=x

ii) Idempotencia

∀ x ∈ |P

x+x=x
x • x=x

corolarios
ii.a)

x+1=1

ii.b)

x • 0=0

iii) Complementación

∀ x, x ∈ |P

x + x = 1
x • x = 0

iv) Conmutatividad

∀ x,y ∈ |P

x+y=y+x
x •y=y •x

v) Asociatividad

∀ x,y,z ∈ |P

(x+y)+z = x +(y+z)
(x • y) • z = x • (y • z)

vi) Distributividad

∀ x,y,z ∈ |P

(x+y) • (x+z) = x+(y • z)x • (y+z) = (x • y)+(x • z)

vii) Absorción

∀ x,y ∈ |P

x + x •y = x
x • (x+y) = x

corolarios

x+x •y= x+ y
x(x + y) = x • y

vii.a)
vii.b)

viii) Consenso

∀ x,y,z ∈ |P

x•y+ x •z+ y•z= x•y+ x •z
( x + y) • ( x + z) • ( y + z) = ( x + y) • ( x + z)

ix) Teoremas de DeMorgan
ix.a)
ix.b)
ix.c)
ix.d)

x =x
(x + y) = x • y
x• y = x + y

Teorema general

f ( x1, x2 , . . . , xn ,0,1,+,•) = f ( x1,x2 , . . . , xn ,1,0,•, +)

TEOREMA DE MORGAN

Ejemplo:

Factor Común
Ejercicios:

3. Funciones de Conmutación
3.1. Vértice y Tabla de Verdad
f(x1,x2, . . . ,xn) correspondencia entre un elemento del
álgebra y 2n combinaciones de variables
Relaciones → OR, AND, NOT
• Def: Vértice
combinación de valores que toman las variables
una función

de

• Def: Tabla de Verdad
Muestra todos los posiblesvértices de una función y
el valor

Ej.:

f ( x, y, z) = x z + xz + x y
x

y

z

f(x,y,z)

0
0
0
0

0
0
1
1

0
1
0
1

1
1
0
1

1
1
1
1

0
0
1
1

0
1
0
1

1
0
1
0

Tabla 10

Dos o mas funciones lógicas son equivalentes si tienen la
misma tabla de verdad
Ej.:

f1 ( x , y , z ) = x z + x z + x y

f 2 ( x , y ,z ) = x z + x z + z y
x

y

z

f1

0
0
0
0

0
0
1
1

0
1
0
1

1
1
0
1

1
1
1
1

0
0
1
1

01
0
1

1
0
1
0

Tabla 11

3.2. Expresiones Canónicas (Estándar)
Existen dos formas
a) Suma de Productos: productos de todas las variables
directas o complementadas
productos → minterm
b) Productos de Suma:
suma de todas las variables
directas o complementadas
sumas → maxterm
La suma de todos los minterm o los productos de todos
los maxterm representan la función

c) Representación expresionescanónicas
- Suma de productos (OR de AND)
Ej.:
si
x → 22 = 4
( 2 2 , 21 , 2 0 )
x → 21 = 2
f ( x , y , z ) = xyz + xyz + xyz
x → 20 = 1
Sumando cada término del minterm sin complementar por
su peso

f ( x, y, z) =

∑ 3 ( 2 , 5, 7 )

• Productos de suma (AND de OR)
Ej.:
si x → 2 2 = 4
y → 21 = 2
f ( x , y , z ) = ( x + y + z )( x + y + z )( x + y + z )
z → 20 = 1
Multiplicando cada término del maxtermcomplementado
por su peso
( 2 2 , 21 , 2 0 )

f ( x, y, z) =

∏ 3 ( 1, 3 , 4 )

d) Transformación de funciones canónicas
(tablas de verdad y teorema de expansión)

i). Tablas de verdad
2

minterm
xyz
xyz
xyz

xyz

f
0
1
1
1
0
0
1
0

0
1
2
3
4
5
6
7

1

0

2
x

2
y

2
z

0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
1
0
1
0
1

f maxterm
0
1
2
3
4
5
6
7

0
1
1
1
0
0
1
0

x+ y+z

x + y+z
x + y+z

x + y+z

f ( x , y , z ) = ∑ (1, 2, 3, 6) = ∏ (0, 4, 5, 7)
3

3

f ( x , y , z ) = x yz + x yz + x yz + xyz
f ( x , y , z ) = ( x + y + z )( x + y + z)( x + y + z )( x + y + z )
e) Teorema de expansión de Shannon
Una función se puede expresar

f ( x1 , x2 , ..., xn ) = x1 f (1, x2 , ..., xn ) + x1 f ( 0, x2 , ..., xn )
o también
• Regla
- suma de productos: se multiplica cada producto por la
variableque falta complementada y sin complementar

f ( x , y , z ) = ∑ (1, 2, 3, 6) = ∏ (0, 4, 5, 7)
3

3

f ( x , y , z ) = x yz + x yz + x yz + xyz
f ( x , y , z ) = ( x + y + z )( x + y + z)( x + y + z )( x + y + z )
e) Teorema de expansión de Shannon
Una función se puede expresar

f ( x1 , x2 , ..., xn ) = x1 f (1, x2 , ..., xn ) + x1 f ( 0, x2 , ..., xn )
o también
• Regla
- suma de productos:...