Sistema binario

SISTEMA BINARIO

El número 2 es el menor de los números que se puede tomar como base de un sistema de numeración. El sistema correspondiente a esta base, llamado binario, es muy antiguo. Lo empleaban, aunque de forma muy imperfecta, algunas tribus de Australia y Polinesia. La ventaja de este sistema es su extrema sencillez. En el sistema binario intervienen sólo dos cifras 0 y 1; el número 2representa la unidad del orden siguiente. También son muy sencillas las reglas de las operaciones con los números escritos en el sistema binario. Las reglas principales de adición se resumen así:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = (10) 2

y la tabla de multiplicar para el sistema binario es
X | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |

Un defecto relativo del sistema binario consiste enque incluso para escribir números no muy grandes hay que emplear muchos símbolos pues la base de este sistema es pequeña. Por ejemplo, el número 1000 se escribe en el sistema binario así 1111101000, o sea, empleando diez dígitos. Sin embargo, este defecto es compensado por una serie de ventajas, razón por la cual el sistema binario se ha difundido mucho en distintas ramas de la técnica y,especialmente, en las modernas computadoras.
Más adelante trataremos de las aplicaciones técnicas del sistema binario. Ahora consideraremos dos problemas relacionados con la representación binaria de los números.

Problema 1. He pensado un número entero comprendidos entre 1 y 1000. ¿Se decide usted a adivinarlo haciéndome como máximo 10 preguntas a las que sólo responderé «sí» o «no»? Decídase, no esdifícil.
Una posible serie de preguntas que desde luego conduce a la solución es la siguiente:

Pregunta Nº 1. Divida el número entre 2. ¿Da resto la división? Sí la respuesta es «no» anotamos la cifra cero y si la respuesta es «si» escribirnos uno (en otras palabras, escribimos el resto de la división del número entre 2).

Pregunta Nº 2. Divida por 2 el cociente obtenido en la primeradivisión. ¿Da resto la división? De nuevo escribimos cero si la respuesta es «no» y uno si la respuesta es «sí».
Las demás preguntas serán del mismo tipo; «Divida entre 2 el cociente obtenido en la división anterior. ¿Da resto la división?» Todas las veces escribiremos cero si la respuesta es negativa y uno si es positiva.
Repitiendo esta pregunta 10 veces, obtendremos 10 cifras cada una igual acero o a uno. Es fácil ver que estas cifras representan el número buscado en el sistema binario. Efectivamente, nuestras preguntas reproducen el procedimiento que se emplea para convertir un número en el sistema binario. Además, diez preguntas bastarán, pues para representar en el sistema binario cualquier número de 1 a 1000 harán falta diez cifras a lo sumo. Partiendo de que el número pensado hasido convertido de antemano al sistema binario, queda bien evidente lo que se debe preguntar para adivinarlo: respecto a cada una de sus cifras hay que preguntar si es o no es igual a cero.
Consideremos otro problema próximo, de hecho, al anterior.
Problema 2. Tengo 7 tablas cada una de 64 casillas iguales que un tablero de ajedrez (figuras siguientes). Cada casilla tiene un númerocomprendido entre 1 y 127. Piense un número y dígame en qué tablas (están numeradas del 1 al 7) aparece. Yo adivinaré el número. ¿De qué forma?
La cosa es sencilla.
Escribamos en el sistema binario todos los números de 1 a 127. En la representación binaria cada uno contiene 7 dígitos, todo 1 más, (en particular, 127= (1111111) 2 ). Incluyamos el número A en la tabla de número k ( k = 1, 2, 3,..., 7) sien la k -ésima posición de su representación binaria figura la unidad; si en la k -ésima posición aparece el cero, no lo incluiremos en la tabla correspondiente. Por ejemplo, si número 57 que en el sistema binario se escribe 0111001, debe ser incluido en la primera, cuarta, quinta y sexta tablas; el número 1 se incluye sólo en la primera tabla y el número 127 en todas. Por eso, al señalar en qué...