sistema contrl

Sistemas de Primer y Segundo
Orden
Oscar Duarte
Facultad de Ingenier´a
ı
Universidad Nacional de Colombia

– p.1/66

er

Sistema Continuo. 1 Orden
Un sistema continuo de primer orden, cuya función de
transferencia es
1
F (s) =
s+a
Se estimula con un paso unitario µ(t), (C.I. = 0), la
respuesta y(t) es:
1 1 1/a −1/a
=
+
Y (s) = F (s)U (s) =
(s + a) s
s
s+a
1
y(t) = (1 −e−at )µ(t)
a
– p.2/66

er

Sistema Continuo. 1 Orden
y(t)
2
1
1

2

3

4

t

Figura 1: Respuesta al paso de un sistema continuo de
primer orden, a = −1, polo en s = 1
1
y(t) = (1 − e−at )µ(t)
a

– p.3/66

er

Sistema Continuo. 1 Orden
y(t)
1
1

2

3

4

t

Figura 2: Respuesta al paso de un sistema continuo de
primer orden, a = 1 , polo en s = −1
1y(t) = (1 − e−at )µ(t)
a
– p.4/66

er

Sistema Continuo. 1 Orden
y(t)
1
1

2

3

4

t

Figura 3: Respuesta al paso de un sistema continuo de
primer orden, a = 2 , polo en s = −2
1
y(t) = (1 − e−at )µ(t)
a
– p.5/66

er

Sistema Continuo. 1 Orden
y(t)
1
1

2

3

4

t

Figura 4: Respuesta al paso de un sistema continuo de
primer orden, a = 3 , polo en s = −31
y(t) = (1 − e−at )µ(t)
a
– p.6/66

er

Sistema Continuo. 1 Orden
Región de Estabilidad

Región de Inestabilidad
0

Figura 5: Regiones de estabilidad e inestabilidad para
un sistema continuo de primer orden
1
y(t) = (1 − e−at )µ(t)
a

– p.7/66

Tiempo de Asentamiento
tiempo de asentamiento o tiempo de estabilización:
tiempo a partir del cual la respuesta natural (suvalor
absoluto) no supera un porcentaje de su valor
máximo, por ejemplo el 5 %.
Para el caso del sistema continuo de primer orden,
este tiempo tas que satisface:
1
y(t) = (1 − e−at )µ(t)
a
e

−atas

= 0.05

tas

ln 0.05
=−
a

tas = 3/a

– p.8/66

Tiempo de Asentamiento
y(t) y = t
1/a
67 %
1/a

t

Figura 6: Respuesta al paso de un sistema continuo de
primer orden,polo en −a
1
y(t) = (1 − e−at )µ(t)
a

– p.9/66

Tiempo de Asentamiento
tas ≤ 3/a
−a

0

Figura 7: Región de tiempo de asentamiento máximo
para un sistema continuo de primer orden

– p.10/66

er

Sistema Discreto. 1 Orden
Un sistema discreto de primer orden, cuya función de
transferencia es
1
F (s) =
z+a
Se estimula con un paso unitario µ(k), (C.I. = 0)
z
1
Y (z) = F(z)U (z) =
=
(z + a) (z − 1)
z/(1 + a) z/(1 + a)
Y (z) =
−
(z − 1)
z+a

1
(1 − (−a)k )µ(k)
y(k) =
(1 + a)

– p.11/66

er

3 y(t)
2
 

 

1

 

Sistema Discreto. 1 Orden

1

2

3

4 t

Figura 8: Respuesta al paso de un sistema discreto de
primer orden, a = −1.5, polo en s = 1.5
– p.12/66

er

Sistema Discreto. 1 Orden

y(t)
 

 

 

2
 

 1

1

2

3

4 t

Figura 9: Respuesta al paso de un sistema discreto de
primer orden, a = −.5, polo en s = .5
– p.13/66

er

Sistema Discreto. 1 Orden

y(t)
2
 

 

 

 

 

1

1

2

3

4 t

Figura 10: Respuesta al paso de un sistema discreto de
primer orden, a = .5, polo en s = −.5
– p.14/66

er

Sistema Discreto. 1 Orden
y(t)

 

 

 

2
1−1
−2

 

 

1 2 3 4 t

Figura 11: Respuesta al paso de un sistema discreto de
primer orden, a = 1.5, polo en s = −1.5

– p.15/66

er

Sistema Discreto. 1 Orden
Inestabilidad Estabilidad Inestabilidad
−1 0 1
Alternante
No Alternante
0
Figura 12: Regiones de estabilidad e inestabilidad para
un sistema discreto de primer orden

– p.16/66

Tiempo de Asentamiento
tiempode asentamiento o tiempo de estabilización:
tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor
absoluto) no supera un porcentaje de su valor
máximo, por ejemplo el 5 %.
Para el caso del sistema discreto de primer orden, este
tiempo tas que satisface:
1
y(k) =
(1 − (−a)k )µ(k)
(1 + a)
(| − a|)

kas

= 0.05

kas

ln 0.05
=
ln(|a|)

kas

−3
=
ln(|a|)

– p.17/66...