Sistema Control Pendulo Pid

Sistema de Control de un péndulo Simple

Profesor:
Gerardo Bonilla Mota
Materia:
Teoría de control
Alumno:
Hans Alexander Luna Eisermann
Id:
00012332

Sistema de Control de un péndulo Simple
Introducción:
En este trabajo analizaremos un péndulo simple, de manera que con su análisis podamos
controlarlo utilizando un control PID (Proporcional Integral Derivativo).
El péndulo simple lo podemosrepresentar como en la figura 1.1

Marco Teórico:
Para este proyecto es muy importante saber que es un control PID y como es su
funcionamiento.
Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P),
integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID y su
representación en diagrama de bloques es como la que se muestra en lafigura 1.2

PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reúne las
ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un
controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:
‫ܭ‬௣ ௧
݀݁ሺ‫ݐ‬ሻ
‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܭ‬௣ ∗ ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൅
න ݁ሺ߬ሻ݀߬ ൅ ‫ܭ‬௣ ܶௗ
ܶ௜ ଴
݀‫ݐ‬
Donde su función de transferencia está definida por la siguiente ecuación:
‫ܩ‬௖ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ‫ܭ‬௣ ൬1 ൅

1
൅ ܶௗ ‫ݏ‬൰
ܶ௜ ‫ݏ‬

Segundo método de sintonización Ziegler-Nichols:
Este método nos dice que a partir de la función de transferencia del PID, tomamos ܶ௜ ൌ ∞
y ܶௗ ൌ 0, usando solo la parte proporcional, se incrementa ‫ܭ‬௣ de “0” hasta un valor crítico
‫ܭ‬௖௥ en el cual la salida exhiba por primera vez las oscilaciones sostenidas.
Donde en nuestro diagrama de bloques como se muestra enla figura 2.1

En donde:
‫ܩ‬௖ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܭ‬௣ ൬1 ൅

1
൅ ܶௗ ‫ݏ‬൰
ܶ௜ ‫ݏ‬

Y nuestra planta es nuestra función de transferencia de nuestro sistema.
En donde tomamos ܶ௜ ൌ ∞ y ܶௗ ൌ 0 y nuestra ecuación (2) se simplifica a:
‫ܩ‬௖ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܭ‬௣
Y nos queda nuestro diagrama de bloques como indica la figura 2.2

(2)

Y con este diagrama de bloques tenemos que simplificar para sacar nuestra función detransferencia (figura 2.3) y sacar el valor de ‫ܭ‬௣ , en donde el denominador (figura 2.4) de
esta función de transferencia lo analizaremos utilizando el criterio de estabilidad de
ROUTH.
Función de transferencia:

Denominador:

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo
cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener
quefactorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con
una cantidad finita de términos.
El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación
con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la
primera columna del arreglo.
La condición necesaria y suficiente para que todas las raícesde la ecuación se encuentren
en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean
positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo
positivo.
Una vez aplicando el criterio de ROUTH y sacando las regiones para las cuales ‫ܭ‬௣ es válido,
definimos que ‫ܭ‬௖௥ es el valor grande o máximo que puede tener ‫ܭ‬௣ .
Una vez conociendo el valorde ‫ܭ‬௣ , sustituimos en el denominador de nuestra función de
transferencia y con esto es posible obtener nuestro polinomio característico de nuestra
función.
Una vez obtenido el polinomio característico de nuestra función, nos percatamos que nos
queda en función del operador “s” y que sabemos que “s=ω*ј”, por lo que es necesario
sustituir nuestros valores para sacar nuestra frecuencia.
Una vezque se obtuvo nuestro valor de ω, despejamos nuestro periodo de la siguiente
fórmula:
߱ ൌ 2ߨf
En donde:
f ൌ 1/T

Por lo tanto:
߱ൌ
Despejando el Periodo:

2ߨ
ܶ

2ߨ
߱
Y con esta última ecuación obtenemos nuestro periodo que es igual a ܲ௖௥ .
ܶൌ

Una vez obteniendo este periodo, sabemos que el segundo método de sintonización
Ziegler-Nichols, nos indican la siguiente tabla:
CONTROLADOR
P
PI
PID

ࡷ࢖...