Sistema de control


Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí en una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a una computadora que realice gran parte de los tediosos cálculos necesarios en el análisis. El enfoque en el espacio de estados para los análisisde sistemas es el más conveniente desde este punto de vista. En tanto que la teoría de control convencional se basa en la relación , o la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. El uso de la notación matricial simplificaenormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en la cantidad de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis de los sistemas complicados con entradas y salidas múltiples se realiza mediante procedimientos sólo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de sistemas deecuaciones diferenciales escalares de primer orden.

En presente trabajo de investigación se abordara el análisis y el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados. El material básico de análisis en el espacio de estados, incluye la representación de sistemas en el espacio de estados en las siguientes formas, ,, o de















Existen muchas técnicas paraobtener representaciones en el espacio de estados de los sistemas basados en la función de transferencia. En el presente trabajo de investigación se estudiaran algunos métodos, en los que se abordara las representaciones en el espacio de estados en la forma ,, o de

Considere un sistema definido mediante


En donde es la entrada y) es la salida. Esta ecuación también puede escribirsecomo

A continuación se presentara la representación en el espacio de estados del sistema definido mediante las ecuaciones u en una forma canónica controlable, en una forma canónica observable y en una forma canónica diagonal (o de

. La siguiente representación en el espacio de estados se denomina forma canónica controlable:




La forma canónica controlable es importante cuando seanaliza el enfoque de ubicación de polos para el diseño de sistemas de control. La obtención de las ecuaciones y a partir de la ecuación u se presenta en el problema

. La siguiente representación en el espacio de estados se denomina forma canónica observable:




Al observar que la matriz de estado de de la ecuación de estado obtenida mediante la ecuación es la transpuesta de laecuación de estado definida mediante la ecuación (

Considere el sistema representado por la función de transferencia definida mediante la ecuación Aquí consideramos el caso en el que el polinomio del denominador sólo contiene raíces distintas, para el cual, la ecuación se escribe como:

La forma canónica diagonal de la representación en el espacio de estados de este Sistema se obtienemediante


A continuación se considerara el caso en el que el polinomio del denominador de la ecuación contiene raíces múltiples, para el cual laforma canónica diagonal anterior debe modificarse a la forma canónica de . Suponga, por ejemplo, que todas las , excepto las primeras tres, son diferentes entre sí, o Sea, .En este caso, la forma factorizada de se vuelve,




La expansión enfracciones parciales de esta última ecuación se convierte en


Una representación en el espacio de estados de este sistema en la forma canónica de se obtiene mediante















:
Considere el sistema obtenido mediante

Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, en la forma canónica observable y en la forma canónica diagonal....