Sistema de Coordenadas Rectangulares




Geometría analitica
Sistemas coordenados rectangulares




1.1­­­­­- PUNTOS EN EL PLANO
1.2- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
1.3- DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
1.4- PUNTO MEDIO
1.5- PERIMETRO Y AREA

PUNTOS EN EL PLANO
Una forma grafica para representar expresiones algebraicas es por medio del plano cartesiano, el cual consta de dos rectas numericas: una horizontal llamada eje de lasabscisas o de las equis (x), y otra vertical llamada eje de las ordenadas o de las yes (y), las cuales se intersecan en un punto que recibe el nombre de origen, al que corresponde el punto O.
Esos dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que se numeran en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.



Como el plano cartesiano son dos rectas numericas, a laizquierda del origen, en el eje de las abscisas, se encuentran los valores negativos, y a la derecha los positivos. En el eje de las ordenadas, del origen hacia arriba, se encuentran los valores positivos y hacia abajo, los negativos, de donde resulta lo siguiente:



Primer cuadrante: abscisa positiva y ordenada positiva.
Segundo cuadrante: abscisa negativa y ordenada positiva.
Tercercuadrante: abscisa negativa y ordenada negativa.
Cuarto cuadrante: abscisa positiva y ordenada negativa.
Un punto en el plano se localiza con una pareja ordenada de valores (x, y) llamados coordenadas, donde x es la primera componente y y la segunda. La primera componente (x) se localiza en el eje de las abscisas, y la segunda (y) en el eje de las ordenadas.
Al trazar las perpendiculares de cada uno de losejes desde esos puntos, las lineas resultantes se intersecan en un punto que es el lugar buscado.
Si se tiene el par ordenado A (6, 2) y se localiza en el plano, la primera componente (6) se localiza en el eje de las abscisas y la segunda (2) en el eje de las ordenadas; al trazar la perpendicular de los ejes coordenados desde esos puntos se encuentra su interseccion, que es la coordenada A (6, 2).En el par ordenado B (-7, 4) se puede observar que el valor de x es negativo y el de y es positivo, por lo que tal punto se localiza en el segundo cuadrante. Si el punto a localizar es C (--5, -2), el punto estará en el tercer cuadrante y si es D (8, -3), estará en el cuarto cuadrante.

Cuando la abscisa del par ordenado es 0, por ejemplo M (0, 5), el punto se localiza sobre el eje de las y. Y sila ordenada es 0, por ejemplo N (-7, 0) el punto se localiza en el eje de las x.

En ocasiones es necesario identificar las coordenadas de un punto observando su localización con respecto al origen. Por ejemplo:

El punto A se localiza en la intersección de las perpendiculares del eje de las abscisas en el punto 6 y del eje de las ordenadas en el 3; por lo tanto, sus coordenadas son (6, 3).
Elpunto B se localiza en la intersección de las perpendiculares del eje de las abscisas en el punto -2 y del eje de las ordenadas en el -4, por lo tanto, sus coordenadas son (-2, -4).
En el plano cartesiano es posible representar expresiones algebraicas y su uso abarca no solo aspectos estrictamente matemáticos sino también relativos a otras ramas de la ciencia.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Cuando lospuntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valorabsoluto de la diferencia de sus ordenadas.



Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia...