Sistema de coordenadas

(5c) Coordenadas
Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.  
 Coordenadas en el plano  |
  René 
  Descartes |
El sistema másusado es de las coordenadas cartesianas, basado en un juego de ejes perpendiculares entre sí. Fue conocido con el nombre de René Descartes ("Dey-cart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. Puede que esto ya le sea familiar a usted.El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"),perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen"): los espacios hacia la derecha del origen y hacia arriba de él, se toman como positivos y para los otros lados como negativos (vea el dibujo abajo). 
La distancia en un eje se llama "x" y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneas paralelas a los ejes y los valores de "x" e "y" definentotalmente el punto. En honor a Descartes, esta forma de designación de los puntos se conoce como sistema cartesiano y los dos números (x, y) que definen la posición de cualquier punto son suscoordenadas cartesianas . Las gráficas usan ese sistema, al igual que algunos mapas. Funciona bien en una hoja de papel plana, pero el mundo real es tridimensional y a veces es necesario designar los puntosen dicho espacio tridimensional. El sistema cartesiano (x, y) puede extenderse hacia las tres dimensiones añadiendo una tercera coordenada z. Si (x, y) es un punto en una hoja, entonces el punto (x, y, z) en el espacio se consigue situándose en (x, y) y elevándose una distancia z sobre el papel (los puntos por debajo del papel tienen z negativa). Es simple y claro, una vez que se toma la decisiónde en qué lado de la hoja es positiva z. Por común acuerdo, las ramas positivas de los ejes (x, y, z), siguen el pulgar y los dos primeros dedos de la mano derecha, en el mismo orden, cuando se extienden de tal forma que formen el mayor ángulo entre ellos. Lo que sigue usa las funciones trigonométricas seno y coseno. Si no está familiarizado con ellas, pase por alto esta sección o puede aprendersobre ellas.Coordenadas PolaresLas coordenadas cartesianas (x, y) no son la única forma de designar un punto P en el plano con un par de números. Existen otras formas y pueden ser más útiles en circunstancias especiales. Un sistema (llamado de "coordenadas polares") usa la longitud r de la línea OP desde el origen hasta P y el ángulo que forma esa línea con el eje x. Los ángulos se denominan, amenudo, con letras griegas y aquí seguimos las convenciones designándolo como  (f griega). Observe que mientras en el sistema cartesiano x e y tiene roles muy similares, aquí están divididos: r denota la distancia y la dirección.Las dos representaciones están muy relacionadas. De las definiciones de seno y coseno: x = r cos y = r sin Esto permite que (x, y) se deduzcan de las coordenadas polares.Para ir en sentido inverso y deducir (r, ) de (x, y), observe que de las ecuaciones superiores o del teorema de Pitágoras se puede deducir r: r2 = x2 + y2Una vez que se conoce r, el resto es fácil cos  = x/r sin  = y/r Estas relaciones solo fallan en el origen, donde x = y = r = 0. En ese punto,  está indefinido y se puede escoger para él lo que uno quiera. En el espacio tridimensional, ladesignación cartesiana (x, y, z) es exactamente simétrica, pero algunas veces es conveniente seguir el sistema de coordenadas polares y designar la distancia y la dirección por separado. La distancia es fácil: se toma la línea OP desde el origen hasta el punto y se mide su distancia r. también puede deducirse del teorema de Pitágoras, como en este caso: r2 = x2 + y2 + z2Todos los puntos con el...