sistema de dos ecuaciones simultaneas de primer grado con dos incognitas

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
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MATEMÁTICAS BÁSICAS

SISTEMAS DE ECUACIONES


SISTEMAS DE ECUACIONES

Una ecuación lineal con dos incógnitas x y y es una expresión de la forma ax + by = c , donde
c,b,a ∈R y a y b son diferentes de cero.

Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene unnúmero ilimitado de soluciones de la forma ( y,x ) y su
gráfica determina una recta.

Ejemplos.

1) La ecuación lineal 2x + 4 y = 20 tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: (− 2, 6), (0,5),
(8,1) y (12,−1)

2) La ecuación lineal 3x − y = −15 tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: (5, 0), (− 2,9),
(1,18) y (−3,6)

Un sistema de ecuaciones es un conjuntode ecuaciones que poseen incógnitas. Para indicar que varias
ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas x y y , también llamado ecuaciones simultáneas
de dos por dos es de la forma:




+ =
+ =
21 22 2
11 12 1
a x a y b
a x a y b


donde 11 12 21 22 a a, a, a, son coeficientesreales y 1 2
b b, son términos independientes. En cada una de
las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero.

Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surgen del planteamiento de un
problema, generalmente no tienen la forma estándar, sin embargo, debe obtenerse.

Resolver un sistema de este tipo es encontrar los paresde números x y y que satisfacen ambas
ecuaciones, si existen. Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas
P( y,x ).

En un sistema de dos ecuaciones lineales:

• Si las dos rectas que se cruzan en un punto, éste representa la solución del sistema. En este caso el
sistema es compatible determinado.
• Si las dos rectas coinciden en todos sus puntos, tieneinfinitas soluciones. En este caso el sistema es
compatible indeterminado.
• Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto común. En este caso el sistema es
incompatible y no tiene solución.
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MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS
INCÓGNITASExisten cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones:

• Igualación
• Suma y resta (eliminación)
• Sustitución
• Determinantes
• Gráfico


MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación consiste en realizar los siguientes pasos:

• Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
• Se igualan las expresiones despejadas y se obtiene una ecuación lineal para laotra incógnita.
• Se resuelve la ecuación lineal.
• Se sustituye este valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas a fin de obtener el valor de
la otra.
• Se realiza la comprobación.

Ejemplos.
Aplicando el método de igualación, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)



+ =
− =
3 5 14
4 2 10
x y
x y

Solución.
De la primera ecuación sedespeja x :
2
5
4
10 2y y
x+
=
+
=
de la segunda ecuación también se despeja x :
3
14 5y
x−
=
se igualan estas dos últimas ecuaciones:
3
14 5
2
5 y − y
=
+

resolviendo para y :
3(5 + y) = 2(14 −5y)
15 + 3y = 28 −10y
3y +10y = 28 −15
1
13
13 13y =13 ⇒ y = =
sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita:
3
2
6
2
5 1= =
+
x =
Por lo tanto: x = 3 y y = 1 . Comprobación:
( ) ( )
( ) ( ) 


+ = + =
− = − =
3 3 5 1 9 5 14
4 3 2 1 12 2 10

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3

2)



+ = −
− =
2 8 48
9 3 18
x y
x y

Solución.
De la primera ecuación se despeja x :
3
6
9
18 3y y
x+
=
+
=...