sistema de ecuaciones diferenciales

Sistemas de ecuaciones diferenciales
´
sistemas homogeneos
Sea el sistema homog´neo de primer orden
e
X ′ (t) = An×n X(t)

(1)

donde An×n es una matriz de coeficientes reales, X(t) = (x1(t), x2 (t), . . . , xn (t))T .
La soluci´n del sistema (1) puede ser obtenida por el m´todo de los valores propios.
o
e
Teorema 1 Sean λ1 , λ2 , . . . , λn los valores propios de la matriz An×n delsistema (1). Entonces,
a) Si los λi son todos reales y diferentes, existen n vectores propios asociados V1 , V2 , . . . , Vn linealmente independientes (l.i.), entonces las n soluciones l.i. de (1)son:
X1 (t) = V1 eλ1 t , X2 (t) = V2 eλ2 t , . . . , Xn (t) = Vn eλn t .
La soluci´n general de (1) es
o
X(t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + . . . + cn Xn (t),
con ci constantes arbitrarias.
La matrizfundamental del sistema (1) es definida por M (t) = [ X1 (t) X2 (t) . . . Xn (t) ].
b) Si λ1 = λ2 = . . . = λn son reales, para los vectores propios asociados se tiene dos casos:
b1 ) Existen nvectores propios l.i. V1 , V2 , . . . , Vn , entonces las n soluciones l.i. de (1) son:
X1 (t) = V1 eλ1 t , X2 (t) = V2 eλ1 t , . . . , Xn (t) = Vn eλ1 t .
b2 ) Existe un solo vector propio V1 asociadoal valor propio λ1 = λ2 = . . . = λn , entonces se
deben determinar vectores generalizados l.i. V2 , . . . , Vn de la siguiente forma
(A − λ1 I)V2 = V1 , (A − λ1 I)V3 = V2 , (A − λ1 I)V4 = V3 , . .. , (A − λ1 I)Vn = Vn−1 .
Las soluciones l.i. de (1) son:

X1 (t) =
X2 (t) =
X3 (t) =
.
.
.
Xn (t) =

V1 eλ1 t ,
t V1 eλ1 t + V2 eλ1 t
t2
V1 eλ1 t + t V2 eλ1 t + V3 eλ1 t
2
.
.
.tn−1
tn−2
V1 eλ1 t +
V2 eλ1 t + . . . + Vn eλ1 t .
(n − 1)!
(n − 2)!

c) Si λ1 es complejo, su conjugado λ1 es tambi´n valor propio, y los vectores propios asociados son
e
V1 , V 1 , entonces
K1(t) = V1 eλ1 t , K2 (t) = V 1 eλ1 t ,
pero las soluciones pueden ser expresadas como funciones reales, esto es, definiendo
α = Re(λ1 ),

β = Im(λ1 ),

E. Ortega Torres - Departamento de...