Sistema de Ecuaciones Lineales - Métodos Numéricos

Escuela de Ingeniería



Métodos Numéricos





Proyecto #3

“Sistemas de Ecuaciones Lineales”





INTRODUCCIÓN

Es este proyecto se verá como se realizaron ecuaciones lineales de tres incógnitas en adelante por varios métodos, tales como el de Jacobi, Gauss-Seidel, descomposición de LU, la matriz inversa y demás. En cada uno se describirá los pasos para poder conseguir lasdiferentes variables.

CONTENIDO

1. Un empresario canadiense necesita cantidades fijas de yenes japoneses, euros y dólares americanos durante cada viaje de negocios. Este año
viajó 3 veces. La primera vez necesitó un total de $2550 canadiense con
las siguientes tasas: 100 yenes por dólar canadiense, 0.6 euros por dólar
canadiense y 1.6 US Dólar por dólar canadiense. La segunda veznecesitó $2840 canadiense en total con tasas de 125 yenes, 0.5 euros y
1.2 US Dólar por dólar canadiense. La tercera vez necesitó un total de
$2800 canadiense a 100 yenes, 0.6 euros y 1.2 US Dólar por dólar
canadiense. ¿Cuál es la cantidad fija de yenes, euros y dólares que
cambia en los viajes?

Para realizar este problema lo primero que debemos hacer es hacer la conversión en cadauna de las cantidades. Si tenemos 100 yenes por dólar canadiense entonces en Excel pondremos =1/100. Y la matriz nos debe de quedar así:
MATRIZ
0.01
1.66666667
0.625
0.008
2
0.83333333
0.01
1.66666667
0.83333333
El siguiente paso sería hacer la matriz inversa de esta que acabamos de hacer. Entonces seleccionaremos las celdas correspondientes para que tengamos las dos matrices de lasmismas dimensiones y una vez seleccionadas las celdas escribiremos =MINVERSA( y ya escrito esto seleccionaremos la matriz original y presionaremos Ctrl + Shift + Enter. La nueva matriz debe ser así:
INVERSA
200
-250
100
1.2
1.5
-2.4
-4.8
0
4.8
Nuestro siguiente paso será el de multiplicar la matriz inversa por B para obtener X, Y, Z. Seleccionaremos tres celdas hacia abajo y escribiremos=MMULT( y seleccionaremos la matriz inversa, pondremos una coma y seleccionaremos también las tres celdas de B. Después presionaremos Ctrl + Shift + Enter, y nos deberá quedar así:
X=
80000
Y=
600
Z=
1200
De esta manera obtuvimos las cantidades fijas de cada moneda que cambio en los viajes, siendo X los yenes, Y los euros y Z los dólares.

2. Calcular las corrientes i1, i2, i3 en elcircuito eléctrico de la figura de abajo
si el voltaje de la batería es E = 6 V y las resistencias son:
R1 = 3 Ω, R2 = 5 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 2 Ω.

Lo primero que tenemos que hacer en este problema es hacer tres ecuaciones en función de i y R. Ya que la tenemos podemos sustituir los valores que se nos están dando de R en cada una de las ecuaciones. Pero la segunda ecuación la sustituiremos porel despeje de las i, y ya que pasamos nuestros datos a Excel, nuestra matriz nos deberá de quedar así:
MATRIZ
3
5
0
1
-1
-1
3
0
6
Y B nos deberá de quedar así:
B
6
0
6
Ya que tenemos nuestra matriz y B, lo siguiente que haremos será calcular la matriz inversa, realizando los mismos pasos que hicimos en el problema anterior, y nos deberá de quedar así:
INVERSA
0.09523810.47619048
0.07936508
0.14285714
-0.28571429
-0.04761905
-0.04761905
-0.23809524
0.12698413
Ahora que tenemos la matriz inversa podemos calcular i1, i2, i3, de la misma manera que calculamos las tres incógnitas de el problema anterior, multiplicando la matriz inversa por la B. Las i nos deberán de quedar así:
i1=
1.047619048
i2=
0.571428571
i3=
0.476190476
Y de esta manera tenemoscalculadas las tres corrientes en el circuito eléctrico.

3. Dado el siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales:

Use los Métodos de Jacobi y Gauss – Seidel, y realice lo siguiente:
a. Calcule los primeros 15 términos de la sucesión generada a partir
del punto P0 = (0, 2, 1, 1) utilizando los algoritmos antes
mencionados.
b. De un análisis comparativo de los dos algoritmos, según sus...