Sistema De Ecuaciones Lineales

Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de lasvariables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Formamatricial de un sistema lineal de ecuaciones:
Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema de la forma



La expresión matricial del sistema es



Donde:

A= es la matriz de coeficientes del sistema.
X= es la matriz de incógnitas.
B= es la matriz de términos independientes.
Luego un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente como A•X=B
Sila matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A•X=B => A-1•A•X=A-1•B => X=A-1•B•.
Por tanto resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices consiste en poner el sistema en forma matricial. La solución, si la hay, será el producto de la inversa de la matriz de coeficiente (A-1) por la matriz de términos independientes (B).
Ejemplo:Propiedad Fundamental de los S.E
1. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por (si x2 ¹ x1).
m = y2 – y1 = D y
x2 – x 1 D x
2. Si X2 – X1 = 0 y y2 ¹ y1 entonces la recta es vertical y se
Dice que la pendiente no está definida.
3. Cualquiera recta (excepto una con pendiente indefinida), sepude describir expresando su ecuación en la forma simplificada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).
4. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.
5. Si la ecuación de una recta es ax + by = c (b ¹0) entonces, como se ve fácilmente, m = - a/b
6. Si m1 es la pendientede la recta L1, m2 la del L2, m1 ¹ 0 y L1, L2 son perpendiculares, entonces m2 = - 1m1.
7. Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.
8. Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales:
Sustitución:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente laque tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando estemétodo reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener unaecuación donde la única incógnita sea la .


Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en...