sistema de ecuaciones lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ecuación Lineal, es una expresión del tipo:

a1x1+a2x2+...+anxn = b

Donde
x1 = variable
a1 = coeficiente
b = constante

En cuanto tengan solución hay sistemas de ecuaciones homogéneos y heterogéneos:

SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Son aquellos cuya constante es siempre igual a cero, y su criterio de solución se da como:
Si el numero de ecuaciones consistentesy útiles es igual al número de variables entonces se dice que tiene una única solución trivial es decir cada variable valdrá cero. De no darse de esa forma tendrá infinitas soluciones.

SISTEMAS HETEROGÉNEOS: Son aquellos en los que la constante (b) es diferente de cero, estos sistemas pueden tener una solución única diferente de la trivial, o pueden tener infinitas soluciones, igual que en casode los homogéneos el criterio se da tomando en cuenta el número de ecuaciones válidas con el número de incógnitas; si coinciden entonces tiene única solución no trivial, si no existen infinitas soluciones.

Ahora ¿cómo obtengo el número de ecuaciones válidas?
Si al utilizar el método de Gauss que se explica a continuación se obtiene una fila de ceros, quiere decir que esa ecuación eracombinación lineal de una o varias de las anteriores, es decir no ayudaba a la resolución del ejercicio:

DEFINICIONES
Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que loscoeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, son constantes reales.
ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL
Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
...
a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.
Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
(3)
Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamentecomo:
A X = C (4)
en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).
Entonces la matriz ampliada será:
Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
SISTEMA DE ECUACIONES
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DEECUACIONES
Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.
Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestraque existe una infinidad de soluciones.
TEOREMAS SOBRE RANGOS
El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).
En álgebra se demuestra que:
Para cualquier sistema, (*)
Si r(A) < r(A, C) el sistema es inconsistente
Si r(A) = r(A, C) elsistema de ecuaciones es consistente
En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.
En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.
Naturalmente, ninguna técnica práctica puede ser infinita. Lo que queremos...