sistema de ecuaciones lineales

Unidad 3 “Sistemas de ecuaciones lineales”

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.
3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.
3.5 Aplicaciones.


3.1 Definición desistemas de ecuaciones lineales
Se denomina sistema de ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en un denominador.
Por ejemplo, 3x+2y+6z=6 es una ecuación lineal de tres incógnitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan una recta en elplano. Si la ecuación lineal representa tres incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la siguiente figura:
Representación gráfica de la recta –x+2y=3




Representación gráfica de la recta x+y+z=1

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
Podemos clasificar los sistemas deecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones delsistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución
Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:
Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. 
Ejemplo: 
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de laotra, mientras que los términos independientes no lo son. 
Ejemplo: 
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra. 
Ejemplo: 

=Tipos de Solución=
=Sustitución=
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, acontinuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo,supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:


En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnitasea la x.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

=Igualación=
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación seigualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita  en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:


Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.


Una vez...