Sistema De Ecuaciones Lineales
Páginas: 9 (2089 palabras)
Publicado: 5 de noviembre de 2012
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFA)
Núcleo Anzoátegui, Extensión Puerto Píritu
Matería: Algebra lineal
Carrera: 2do semestre de Ingeniería de Telecom.
Profesor:Bachiller:
José Salas Diego Maitán
V- 21612340
Puerto Píritu, Octubre del 2012.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Método de eliminación Gaussiana.
El método de eliminación Gaussiana es laformalización del método elemental de resolución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Sean las tres ecuaciones con las tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejemplo:
1) X + 2y + 3z = 26,
2) 2x + 3y + z = 34, (20.42)
3) 3x + 2y + z = 39.
El método actúa siguiendo una serie de pasos.* Paso 1. Eliminación de x
La ecuación (1) se llama ecuación pivote y el término en x se llama pivote de este paso. Se consigue eliminar x de todas las ecuaciones que siguen restando múltiplos adecuados de (1). Así por ejemplo, restando 2 x (1) a (2) y 3 x (1) a (3) obtenemos el nuevo sistema de ecuaciones:
1. X +2y + 3z = 26,
2. –y – 5z = -18,
3. -4y -8z = -39.(20.43)
* Paso 2. Eliminación de y
La ecuación (2) es la nueva ecuación pivote y se elimina y de las ecuaciones que siguen restando múltiplos adecuados de (2). En este caso restando 4 x (2) a (3) nos da:
1) X + 2y + 3z = 26,
2) –y – 5z= -18
3) 12z = 33.(20.44)
Estas ecuaciones están en forma triangular o escalonada y la resolución se completa con la sustitución hacia arriba.
* Sustitución hacia arriba
Las ecuaciones (20.44) se resuelven en orden inverso. La ecuación (3) nos da z = 11/4, sustituyendo esto en (2) obtenemos y = 17/4 y sustituyendo y y z en (1) tenemos x = 37/4. Elsiguiente ejemplo muestra que la eliminación Gaussiana se aplica a cualquier sistema de ecuaciones lineales, incluso si no hay una única solución o si no hay soluciones.
Ejemplo, use la eliminación Gaussiana para resolver las ecuaciones:
1) 2x + 2y + z =10.
2) X + 2y – 2z = -3
3) 3x + 2y + 4z = Y
Siendo Y un número
Paso 1. Restamos 12 x (1) a (2) y 32 x (1) a (3):
1) 2x + 2y +z = 10
2) Y - 52 z = -8,
3) –y + 52 z = Y-15.
El coeficiente de x, en (1) es ahora el mayor, pero elegir (1) como ecuación pivote vueleve a dar un resultado malo (aunque distinto). El procedimiento correcto, llamado pivote parcial escalado, consiste en ecuación pivote del primer paso aquella ecuación para la cual la razón del coeficiente de x, con el mayor de los demás coeficienteses de mayor magnitud. Esa razón es 0,9000/ 7539 = 0,0001 en la ecuación (1) y 0,7003/ 2, 613 = 0,3 en la ecuación (2). Hay por lo tanto que elegir la segunda como ecuación pivote, igualmente para X2 en el paso 2, y así sucesivamente. Un refinamiento adicional, llamado pivote total, consiste en buscar el mayor coeficiente relativo de todas las variables en cada paso, pero no suele ser realmentenecesario.
Sistemas equivalentes
Se llaman sistemas equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales, es decir, toda solución de Sm, n es solución de S1r, n y recíprocamente toda solución de S1r,n lo es de S1n, m. para que el dos SEL sean equivalentes, es condición necesaria que tengan el mismo número de incógnitas.
Ejercicio. Demuestre que dos sistemas lineales con el mismo...
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFA)
Núcleo Anzoátegui, Extensión Puerto Píritu
Matería: Algebra lineal
Carrera: 2do semestre de Ingeniería de Telecom.
Profesor:Bachiller:
José Salas Diego Maitán
V- 21612340
Puerto Píritu, Octubre del 2012.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Método de eliminación Gaussiana.
El método de eliminación Gaussiana es laformalización del método elemental de resolución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Sean las tres ecuaciones con las tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejemplo:
1) X + 2y + 3z = 26,
2) 2x + 3y + z = 34, (20.42)
3) 3x + 2y + z = 39.
El método actúa siguiendo una serie de pasos.* Paso 1. Eliminación de x
La ecuación (1) se llama ecuación pivote y el término en x se llama pivote de este paso. Se consigue eliminar x de todas las ecuaciones que siguen restando múltiplos adecuados de (1). Así por ejemplo, restando 2 x (1) a (2) y 3 x (1) a (3) obtenemos el nuevo sistema de ecuaciones:
1. X +2y + 3z = 26,
2. –y – 5z = -18,
3. -4y -8z = -39.(20.43)
* Paso 2. Eliminación de y
La ecuación (2) es la nueva ecuación pivote y se elimina y de las ecuaciones que siguen restando múltiplos adecuados de (2). En este caso restando 4 x (2) a (3) nos da:
1) X + 2y + 3z = 26,
2) –y – 5z= -18
3) 12z = 33.(20.44)
Estas ecuaciones están en forma triangular o escalonada y la resolución se completa con la sustitución hacia arriba.
* Sustitución hacia arriba
Las ecuaciones (20.44) se resuelven en orden inverso. La ecuación (3) nos da z = 11/4, sustituyendo esto en (2) obtenemos y = 17/4 y sustituyendo y y z en (1) tenemos x = 37/4. Elsiguiente ejemplo muestra que la eliminación Gaussiana se aplica a cualquier sistema de ecuaciones lineales, incluso si no hay una única solución o si no hay soluciones.
Ejemplo, use la eliminación Gaussiana para resolver las ecuaciones:
1) 2x + 2y + z =10.
2) X + 2y – 2z = -3
3) 3x + 2y + 4z = Y
Siendo Y un número
Paso 1. Restamos 12 x (1) a (2) y 32 x (1) a (3):
1) 2x + 2y +z = 10
2) Y - 52 z = -8,
3) –y + 52 z = Y-15.
El coeficiente de x, en (1) es ahora el mayor, pero elegir (1) como ecuación pivote vueleve a dar un resultado malo (aunque distinto). El procedimiento correcto, llamado pivote parcial escalado, consiste en ecuación pivote del primer paso aquella ecuación para la cual la razón del coeficiente de x, con el mayor de los demás coeficienteses de mayor magnitud. Esa razón es 0,9000/ 7539 = 0,0001 en la ecuación (1) y 0,7003/ 2, 613 = 0,3 en la ecuación (2). Hay por lo tanto que elegir la segunda como ecuación pivote, igualmente para X2 en el paso 2, y así sucesivamente. Un refinamiento adicional, llamado pivote total, consiste en buscar el mayor coeficiente relativo de todas las variables en cada paso, pero no suele ser realmentenecesario.
Sistemas equivalentes
Se llaman sistemas equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales, es decir, toda solución de Sm, n es solución de S1r, n y recíprocamente toda solución de S1r,n lo es de S1n, m. para que el dos SEL sean equivalentes, es condición necesaria que tengan el mismo número de incógnitas.
Ejercicio. Demuestre que dos sistemas lineales con el mismo...
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