Sistema De Ecuaciones Lñineales

Soluci´n de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales o
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 17 de junio de 2008

´ Indice
26.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 26.2. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4. Motivaci´n a la formalizaci´n del m´todo o o e 26.5. Formalizaci´n del m´todo de soluci´n . . o e o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 6 7

26.1.

Introducci´n o

En esta lectura veremos una aplicaci´n del algebra lineal ala soluci´n de sistemas de ecuaciones difeo ´ o renciales. Los conceptos involucrados son valores y vectores propios de una matriz, as´ como el concepto de ı a diagonalizaci´n de una matriz. La lectura est´ organizada de la siguiente manera. Primeramente, se ver´n dos o a o ejemplos de la aplicaci´n del m´todo. En estos ejemplos se muestra c´mo utilizar una calculadora avanzada de o e las queobtienen valores y vectores propios de una matriz. Seguidamente, viene una secci´n donde se motiva o el m´todo de soluci´n. Finalmente, la lectura termina con una secci´n donde se formaliza el m´todo. e o o e

26.2.

Ejemplo 1

Veamos un primer ejemplo que ilustra el m´todo de soluci´n. En este todos los valores propios son diferentes e o y as´ la matriz que resulta es diagonalizable. ı Ejemplo26.1 Determine la soluci´n al sistema o x′ = 2x + 3y y ′ = 2x + y Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: x(0) = 3 y y(0) = −2. Soluci´n:(y m´todo de soluci´n) o e o 1. El sistema se escribe en forma matricial: x′ y′ = 2 3 2 1 x y

2. Se determinan los valores propios de la matriz de coeficientes. El polinomio caracter´ ıstico es: pA (λ) = λ2 − 3λ − 4 Los valores propios son entonces: λ1 =−1, λ2 = 4 3. Se determinan los vectores propios correspondientes son: v1 = −1 1 , v2 = 3/2 1

Figura 1: Ejemplo 1: Matriz del sistema y sus valores y vectores propios. El m´todo que describiremos aplica cuando todos los valores caracter´ e ısticos son reales y cuando la totalidad de los vectores propios determinados es n: v1 , v2 , . . . , vn , siendo la matriz de coeficientes n × n. En este casola soluci´n general se escribe: o
n

x=
i=1

Ci vi eλi t

4. Se forma la soluci´n general al sistema: o x(t) y(t) = C1 −1 1 e−1t + C2 3/2 1 e4t

5. Se determina la soluci´n particular: determinaci´n de C1 y C2 usando x(0) = 3 y y(0) = −2: o o 3 −2 = C1 −1 1 e−1×0 + C2 3/2 1 e4×0

Para determinar las constantes resolvemos el sistema cuya matriz aumentada es: −1 3/2 3 1 1 −2 x y O bien: xy =− 12 5 −1 1 12/5 −12/5 → 1 0 −12/5 0 1 2/5 e−t + 2 5 3/2 1 3/5 2/5 e4t

=

e−t +

e4t

Hag´mos los c´lculos con una calculadora TI Voyage. a a En la figura 1: se define la matriz del sistema A; se determinan los valores propios; se obtienen los vectores propios correspondientes; y se introducen las condiciones iniciales. Cabe observar que debe respetarse el orden de aparici´n de cadavalor propio y de cada o vector propio: Para el valor propio 4, el vector < 0.832, 0.554 > genera el espacio invariante. Para el valor propio 1, el vector < −0.707, 0.707 > genera el espacio invariante. As´ la soluci´n general quedar´ ı o ıa: x y = C1 0.832 0.554 e4 t + C2 −0.707 0.707 e−t

La constantes C1 y C2 de la soluci´n particular pueden ser determinadas resolviendo el sistema: VC = Ci odonde V es la matriz formada por los vectores propios y Ci es el vector de condiciones iniciales. Para obtener 2

Figura 2: Ejemplo 1: c´lculos para las condiciones iniciales. a

Figura 3: Ejemplo 1: c´lculos para x(t = 1.2) y y(t = 1.2). a ci Vi hacemos el truco del producto V · diag(c1 , c2 ). Estos c´lculos se ilustran en la figura 2. Por tanto, la a soluci´n particular es: o 2.4 0.6 x e−t...