Sistema de ecuaciones Metodo de Gauss Jordan Matriz Algebra lineal SIII Parte 1

Sistema de ecuaciones: es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
Sistema de ecuaciones lineales: Es un conjunto donde todas las incógnitas están elevadas a exponente unidad, en este caso se trata de un sistema que tiene n ecuaciones por n incógnitasa11x1+….+a1nxn=b1
am1x1+….+amnxn=bm
Ejemplos:
1. Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas:
3x1-2x2+x3=2
x1-7x2+93=14
x1 -x3=-2
2. Sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas:
x-2y+3z+9k=2
3y+ z+2k=14

3. Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas:
a + b=1
2a+3b=0
2a+2b=0

Forma vectorial: Consiste en agrupar los coeficientes de las incógnitas X1, X2 y X3 por separado para darcomo resultado un vector de término independiente.
3x1-2x2+x3=2 3 -2 1 2
x1-7x2+93=14 = 1 x1 + -7 x2 + 9 x3 = 14
x1 -x3=-2 1 0 -1 -2

Forma matricial: Es muy útil la forma matricial donde consideraremos el sistema de laforma Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, b es el vector de términos independientes y x el vector de incógnitas.
3 -2 1 2 x1
A= 1 -7 9 b= 14 x= x2
1 0 -1 -2 x3
Concepto de solución: La solución de un sistema es un vector que verifica toda y cada una delas ecuaciones.
Por ejemplo: La solución del siguiente sistema es el vector (x1=1, x2=2, x3=3)
3x1-2x2+x3=2
x1-7x2+93=14
x1 -x3=-2
Sustituimos para comprobar la solución
3(1) - 2(2) + (3) = 3-4+3 =2
(1) - 7(2) + 9 (3) = 1-14+27 =14
- (3) =-2
Clasificación de los sistemas: Los sistemas seclasifican en
A. Compatibles (Con solución)
Determinados (Cuando tienen una única solución)
Indeterminados (Cuando tienen infinitas soluciones)
Sistema homogéneo(Cuando todos los términos independientes valen 0)
B. Incompatibles (Sin solución)
Ejemplo:
1.
3x1-2x2+x3=2
x1-7x2+93=14 Solución: (x1=1, x2=2, x3=3)
x1-x3=-2 Compatible/Determinado
2. En los sistemas compatibles/indeterminados normalmente algunas de las incógnitas se ponen en función de las otras. En el siguiente caso se pone x, y en función de z, k; cada vez que se le un valor un valor a z, k se obtendrá una solución distinta (El problema tiene infinitas soluciones).
x-2y+3z+9k=2

3y+ z+2k =14


Solución:

Compatible/Indeterminado

3. Un sistema homogéneo siempre es compatible.

Compatible/Homogéneo

4. Nunca la suma de dos números puede valer 1 y eldoble de la suma de los números puede valer 0. Tenemos que la relación entre las ecuaciones del sistema es incompatible.
a + b=1
2a+3b=0 Incompatible (Este sistema no tiene solución)
2a+2b=0


Teorema de Rouché-Frobenius:
Para Ax = B Sea: A*(A|b)
Si rango (A) ≠ Rango(A*) = Sistema Incompatible
Si rango (A) = Rango(A*) = Sistema compatible
Si rango (A) = N° de incógnitas =Determinado
Si rango (A) ≠ N° de incógnitas = Indeterminado
Ejemplo 1:



Rango (A)= Rango
3 -2 1
1 -7 9 = 3
1 0 -1
Compatible/Determinado
Rango (A*)= Rango
3 -2 1 2
1 -7 9 14 = 3
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