Sistema De Ecuaciones No Lineales

FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD DOCENTE BÁSICA MATEMÁTICA

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Ing. Jorge J. L. Ferrante
Colaboradores

Lic. Mario Di Blasi Regner Ing. Carlos Krujovsky

2011

PROLOGO
Los sistemas de ecuaciones no lineales son pesados y complejos, requieren un volumen importante de cálculo y el éxito depende tanto del métodoelegido como de los problemas numéricos involucrados y la habilidad del analista. Descartados para este tema los denominados métodos exactos, que luego de un determinado número de pasos llevan a la solución, salvo alguna afortunada inspiración y a la aplicación oportuna de una triquiñuela apropiada; sólo quedan disponibles métodos aproximados, iterativos, que aproximan la solución hasta que ciertascondiciones quedan satisfechas. Con ellos hay que operar. Algunos son similares a los aplicados para la búsqueda de raíces de ecuaciones con una incógnita. La similitud es conceptual puesto que en estos sistemas, el cálculo debe hacerse en espacios de n dimensiones, con todo lo que ello implica. Se han consignado las similitudes correspondientes. Se presentan en este trabajo los métodos deiteración simple o del punto fijo, el de Raphson Newton y el del gradiente o del descenso más rápido. Este último, conceptualmente simple, es a veces operativamente inabordable, motivo por el cual no debe extrañar la cantidad de trabajo de investigación y comentarios que existen sobre el mismo en la bibliografía especializada. El Ing. Carlos Krujovsky realizó la mayor parte de los ejemplos que seincluyen. Me consta que la tarea fue pesada pero debo decir que la realizó exitosamente. Junto a Mario Di Blasi Regner dieron acertadas y oportunas opiniones sobre el trabajo. En ocasiones, el amigo y colega docente, Lic. Hernán González de Urreta, con autorizada opinión, supo sacarnos de algún pozo de dificultades en el que nos habíamos metido. A los tres, muchas gracias.

Ing. Jorge J. L. FerranteProfesor Consulto

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES I GENERALIDADES

1 Se considera la búsqueda de la solución de un sistema de ecuaciones no lineales del tipo

 f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = 0  f ( x , x ,..., x ) = 0  2 1 2 n  ............................   f n (x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 

donde las fi son funciones reales. En todo lo siguiente se supondrá, como hipótesis, quedichas funciones son diferenciables en la medida de lo requerido por los métodos que se exponen. 2 Desde el punto de vista vectorial, el sistema anterior puede escribirse
f1  f f = 2 .... fn

x1  x x= 2 .... xn

con lo cual el sistema anterior se escribe

  f (x ) = 0

3 También se supone que ha sido encontrada una aproximación inicial a la raíz buscada, que se denominará aproximación deorden 0

x1

(0) ( 0)

x  x ( 0) = 2 ...... xn

( 0)

y que se tomará como punto de partida para los métodos que a continuación se presentan. 4 El lector debe estar al tanto de las denominadas normas de vectores y matrices puesto que el problema que en una variable se soluciona con el valor absoluto debe ser tratado mediante normas en espacios vectoriales de n dimensiones para vectoresy matrices. 5 Estas normas, que usualmente se representan mediante ⏐⏐°⏐⏐∗ donde las dobles barras indican norma, el símbolo ° indica el nombre del vector o la matriz y el subíndice ∗ la norma específica que se utiliza en el momento. 6 Se recuerda que se denomina norma sobre Rn a toda aplicación definida en Rn que toma valores reales no negativos y verifica que:  x =0⇔x =0

λx = λ x , ∀λ ∈ R, ∀x∈ R n
      x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ R n







7 Así en el espacio vectorial Rn son normas vectoriales posibles para el vector x

x 1 =  xi
i =1

i =n

x

2

=

x
i =1

i =n

2 i

x

∞

= Máx{x i }
1≤ i ≤ n

8 Si xk y xm son vectores de Rn, se llama distancia asociada a la norma *, al número
d (x k , x m ) = x k − x m

*

9 Si se trata de...