SISTEMA DE ECUACIONES Y MATRICES

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES
Hugo Eduardo Ramirez

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES

SISTEMAS DE ECUACIONES

Secci´n 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
o
Empezaremos recordando que en el plano cartesiano una ecuaci´n lineal es una ecuaci´n de la forma
o
o
a1 x + a2 y = c

(1)

y hace referencia a la gr´fica de una funci´n que es una l´
a
o
ınea recta, La cual tambi´n puede servista de la forma
e
y=−
La recta con pendiente

m=−

a1
a2

y con corte b =

a1
c
x+
, S´ a2 = 0
ı
a2
a2

c
.
a2
y

y = mx + b

x

En un marco m´s amplio una ecuaci´n lineal puede tener m´s de dos inc´gnitas y en este caso se ver´ as´
a
o
a
o
ıa ı:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn = b

(2)

Esta es una ecuaci´n lineal, en la cual se identifican n 1 letras a1, a2 , . . . , an que representan los coeficientes de las n inc´gnitas
o
o
x1 , x2 , . . . , xn cuya suma da como resultado b.
Un sistema lineal es un conjunto de una o m´s ecuaciones lineales; un sistema lineal de n ecuaciones con m inc´gnitas se
a
o
ver´ en una forma gen´rica as´
ıa
e
ı:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1m xm

=

b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2mxm

=

b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3m xm =
.
. =
.
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + anm xm =

b3
.
.
.

(3)

bn

Donde aij determina el coeficiente de la i−esima ecuaci´n y j−esima inc´gnita.
o
o
Note en el sistema de arriba que no necesariamente el n´mero n coincide con el n´mero m, es decir, que el n´mero de
u
u
u
inc´gnitas no necesariamente coincide conel n´mero de ecuaciones.
o
u
Se llama una soluci´n del sistema a un conjunto de n´meros que son asignados a cada una de las inc´gnitas y que reducen
o
u
o
cada una de las ecuaciones a una igualdad num´rica.
e
Ejemplo.

El sistema lineal de dos ecuaciones con tres inc´gnitas que se presenta a continuaci´n
o
o
3x1 + 2x2 − x3

1

representa un n´mero arbitrario pero fijo de R
u

3x1 − x2 + 3x3
1n

=
=

1

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Tiene como soluci´n la tripla de n´meros (0, 2, 1) donde el significado es que x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 1, y verificamos que es
o
u
una soluci´n de la siguiente manera, reemplazando el valor de cada una de las inc´gnitas.
o
o
3·0+2·2−1=0+4−1

=

3

0−2+3·1=0−2+3

=

1

Pero para estesistema esa no es la unica soluci´n; el estudiante puede verificar que (1, 0, 0) es tambi´n una soluci´n.
´
o
e
o
Para encontrar soluciones a los sistemas lineales, vamos a resaltar los detalles en el siguiente ejemplo de un sistema de tres
ecuaciones con tres inc´gnitas
o
3x − 2y − z

=

−1

2x + 2y − 2z

=

0

(2)

x − y + 2z

=

4

(3)

(1)

La metodolog´ usada sellama eliminaci´n y se trata, como su nombre lo indica, de eliminar inc´gnitas de las ecuaciones.
ıa
o
o
2
Empezaremos eliminando la inc´gnita x de la ecuaci´n (2); para esto podemos multiplicar la ecuaci´n (1) por − , sumar las
o
o
o
3
ecuaciones y guardar el resultado en la ecuaci´n (2). As´
o
ı:
2
−3×

3x − 2y − z = −1

4
2
2
−2x + y + z =
3
3
3

≡

haciendo la suma=

2
3

2x + 2y − 2z

+

2
4
−2x + y + z
3
3

=

0

=

2
3

0+

10
4
y− z
3
3

y as´ el sistema queda
ı
3x − 2y − z
4
10
y− z
3
3
x − y + 2z

= −1 (1)
2
=
(2)
3
= 4 (3)

1
Ahora eliminamos la inc´gnita x de la ecuaci´n (3); para esto podemos multiplicar la ecuaci´n (1) por − , sumar las
o
o
o
3
ecuaciones y guardar el resultado en laecuaci´n (3). As´
o
ı:
3x − 2y − z
10
4
y− z
3
3
1
7
− y+ z
3
3

= −1 (1)
2
=
(2)
3
13
=
(3)
3

Notamos que la nueva ecuaci´n (3) no tiene ninguna x puesto que la eliminamos, por lo que ahora entre las ecuaciones (2)
o
1
y (3) podemos eliminar la y de la ecuaci´n (3), para esto multiplicamos por
o
la ecuaci´n (2), sumamos y guardando el
o
10
resultado en la ecuaci´n (3)...