Sistema de ecuaciones

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA
DE ADMINISTRACION INDUSTRIAL
EXTENSION – PUERTO LA CRUZ






SISTEMAS DE ECUACIONES







Agosto del 2012
INTRODUCCION

El trabajo realizado de acuerdo a los conocimientos adquiridos da como resultado el siguiente material de estudio en el cual se trata de hacer comprender al lector de una manera simple y sencilla distintos pasos yreglas para resolver sistemas de ecuaciones.

La importancia de saber manejar procedimientos básicos y avanzados radica en que todo sistema de ecuaciones no siempre podrá ser resuelto con los procedimientos básicos y por eso la importancia de tener conocimientos acerca de otros métodos que puedan ayudar a la solución de sistemas de ecuaciones complejos.















METODOS DERESOLUCION

Partiendo de un sistema lineal compatible en dos ecuaciones con dos incógnitas:

{

Si el sistema ilustrado es compatible y determinado, resolver el sistema consiste en encontrar los valores de las incógnitas X y Y que satisfacen las ecuaciones simultáneamente.

Se pueden diferenciar dos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos y basados en operacionesalgebraicas destinadas a despejar el valor de cada una de las incógnitas y los avanzados que se basan en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.

Dentro de los métodos básicos se encuentran los métodos de reducción, igualación y sustitución que mediante operaciones algebraicas se logra despejar el valor de las variablesdel sistema. Si el sistema es compatible o incompatible indeterminado los métodos antes mencionados no conducen a una solución del sistema. Dichos sistemas son los siguientes:

MÉTODO DE REDUCCIÓN

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiando de signo.Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se eliminan, dando lugar a una ecuación con una incógnita que se resuelve haciendo las operaciones necesarias y haciendo uso de los diferentes artificios matemáticos conocidos. Ya resuelta una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y de esa manera se calcula la segunda.Ejemplo:

{
En el sistema ilustrado la x ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiando de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; se pueden sumar las dos ecuaciones directamente:



Como resultado de la suma tenemos una ecuación con una sola incógnita.


Se despeja la y:



Para calcular el valor de X, sustituimos el valor de Y en una delas ecuaciones, por ejemplo: sustituyendo en la primera:


Despejando X, tenemos:


El resultado del sistema es el valor de X y Y que satisface las dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:


En el caso expuesto era muy fácil dado que X ya tenía el mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra ecuación. Haciendo uso de cada uno de los pasos mostrados se puede calcularempezando por despejar la Y.

En el ejemplo se entiende claramente que el método de reducción consiste en operar el sistema de forma tal que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero cambiando de signo; al sumar las dos ecuaciones el sistema sufre una reducción, se convierte en una ecuación con una sola incógnita. Con el valor obtenido despejando la variable quequedo se sustituye en la otra variable y se obtiene el valor de la segunda incógnita. Indistintamente que se calcule primero la X o la Y debe dar el mismo resultado en los dos casos.


MÉTODO DE IGUALACIÓN

Este método para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita,...