Sistema De Ecuaciones

´ CAPITULO 3 ´ CALCULO INTEGRAL

1.

´ INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO ´ • Concepto de area • Sumas de Riemann • Integral definida • Propiedades de la integral definida • Integral indefinida • Propiedades de la integral indefinida • Teorema Fundamental del C´ lculo Integral a • Integraci´ n por cambio de variable o • Integraci´ n por partes o o • Integraci´ n de funciones racionales •Integraci´ n de funciones trigonom´ tricas o e • Integrales irracionales • Area de la regi´ n entre dos curvas o • Volumen de un s´ lido de revoluci´ n o o • Longitud de arco de una curva • Area de una superficie de revoluci´ n o • Integral impropia • Regla del punto medio • Regla del trapecio • Regla de Simpson

2.

´ CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO

´ 2.1. El problema del area ´ En estasecci´ n partimos de la base que el concepto de area es bien conocido. Esto no significa que el alumno o deba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, si no m´ s bien que todos poseemos una idea intuitiva que a no necesita aclaraci´ n. o ´ El tipo de regi´ n m´ s simple con el que nos podemos encontrar es un rect´ ngulo, cuya area se define como o a a ´ el producto de su base por su altura. Apartir de esta definici´ n podemos obtener las f´ rmulas para el area de o o regiones m´ s complicadas: tri´ ngulos, paralelogramos, pol´gonos regulares, etc. El gran problema se plantea a a ı ´ cuando se intenta calcular el area de regiones m´ s generales que las poligonales. a Los primeros matem´ ticos que intentaron resolver el problema de una forma seria fueron los griegos, utilizando el a m´todo de “exhauci´ n”. Este m´ todo, atribuido a Arqu´medes, consiste en encajar la regi´ n entre dos pol´gonos, e o e ı o ı ´ uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las areas de los dos pol´gonos es peque˜ a, entonces podemos ı n ´ ´ ´ aproximar el area de la regi´ n por cualquier n´ mero comprendido entre el area del pol´gono inscrito y el area del o u ı pol´gono circunscrito. ıEl m´ todo que emplearemos aqu´ es parecido. Se trata de aproximar la regi´ n por una uni´ n de rect´ ngulos de tal e ı o o a

62 ´ ´ forma que el area de la regi´ n se aproxime por la suma de las areas de los rect´ ngulos. o a

´ MATEM ATICAS

2.2. La integral definida

2.2.1. El sumatorio ´ Como hemos indicado anteriormente, el area de una regi´ n se va a obtener como una suma(posiblemente infinita) o ´ de areas de rect´ ngulos. Para facilitar la escritura y comprensi´ n de tal proceso, vamos a introducir una notaci´ n. a o o La suma de n t´ rminos a1 , a2 , . . . , an se denota por e
n

ai = a1 + a2 + · · · + an ,
i=1

e e ı donde i se llama ´ndice de la suma, ai el i-´ simo t´ rmino de la suma y los l´mites inferior y superior de la ı ´ suma son 1 y n, respectivamente.Estos l´mites deben ser constantes con respecto al ´ndice de la suma y la unica ı ı restricci´ n es que el l´mite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al l´mite inferior. o ı ı El sumatorio posee las siguientes propiedades:
n n

(1)
i=1 n

kai = k
i=1

ai , donde k es una constante que no depende del ´ndice de la suma. ı
n n

(2)
i=1

[ai ± bi ] =
i=1

ai ±
i=1bi

Por ejemplo, algunas f´ rmulas de suma importantes son las siguientes: o
n

(1)
i=1 n

c = cn. n(n + 1) . 2 n(n + 1)(2n + 1) . 6 n2 (n + 1)2 . 4

(2)
i=1 n

i=

(3)
i=1 n

i2 = i3 =
i=1

(4)

2.2.2. Sumas de Riemann Consideremos una funci´ n f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Una partici´ n P de dicho intervalo es un o o conjunto de n´ meros {x0 , x1 , x2 , . .. , xn } tales que u a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

´ C ALCULO INTEGRAL

63

Si ∆xi es la anchura del i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ], es decir, ∆xi = xi − xi−1 , entonces se define la norma e de P, y se denota por ||P ||, como la longitud del subintervalo m´ s grande. En otras palabras, a ||P || = max {∆xi } = max{∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn }.
1 i n

e Si ci es cualquier...