Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuaciones
|1 | |INTRODUCCIÓN |

Sistema de ecuaciones, conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Sellama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución,compatibles.
Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa así
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La solución de este sistema es x = 3, y = -2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible.
El sistema 
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es incompatible, pues no tiene solución.
Los sistemas de ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones del tipoax + by = c, ax + by + cz = d,…) son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.
|2 | |SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES |

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).
Un sistema de ecuaciones linealescompatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).
Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El método de sustitución consiste en despejar una delas incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra. Para resolver el sistema
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por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación: y = 10 - 4xAhora se sustituye su valor en la primera: 2x - 5(10 - 4x) = 16
Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:

2x – 50 + 20x = 16
22x = 66
x = 66/22 = 3

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes: y = 10 - 4x = 10 - 4·3 = 10 - 12 = -2
Se ha obtenido así la solución x = 3, y = -2.
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en lasdos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.
Para resolver por igualación el sistema anterior:
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se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:
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Ahora se resuelve esta ecuación:2(16 + 5y) = 10 – y
32 + 10y = 10 – y
11y = -22
y = -2

Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:
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Se ha obtenido la solución x = 3, y = -2.
El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se eliminedicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.
Para resolver por reducción el mismo sistema:
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se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el...