Sistema De Ecuaciones

MÓDULO 1
Lectura 1: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

1. Ecuaciones
Generalidades
Ejemplos de ecuaciones:
x + 1 = 3 ; 2x+3y−xy = z ; 2 x +3x−4= 0 ; 2 4 1
x
x
y
+ =
Si bien hay distinto tipo de ecuaciones (con una incógnita, con dos incógnitas, con la incógnita
elevada al cuadrado, etc.), en todos los casos se intenta buscar el valor de las incógnitas que
satisfacen la igualdad.Por ejemplo en el caso de la ecuación x + 1 = 3 podemos afirmar que x=2 verifica la igualdad.
¿Cómo surgen las ecuaciones?
Hace más de 3000 años el hombre intentaba resolver problemas y observó que su traducción al
lenguaje de los símbolos posibilitaba su resolución. Muchos siglos después se llegó a la
simbología actual y con el objetivo de encontrar respuesta a problemas de cierta naturaleza seintenta traducir el mismo al lenguaje matemático.
Veamos cómo hacerlo en una situación particular:
El gerente de producción de una pequeña empresa dispone de $8.000 que desea destinar
totalmente a la producción mensual.
Sabe que los gastos fijos ascienden a $500 por mes y que el costo de fabricación de cada
producto es $30.
Bajo estas condiciones, ¿cuántas unidades como máximo podráproducir por mes?
Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican
para ciertos valores de las letras, a las cuales se denominan incógnitas.
Los valores que satisfacen la ecuación reciben el nombre de raíces o soluciones
de la misma.

El primer paso para resolver un problema es analizar detenidamente la situación, estableciendo
cuáles son las incógnitas y cuáles sondatos.
En nuestro caso la incógnita es "la cantidad de unidades a producir por mes", la cual puede ser
representada por la letra x.
x : "cantidad de unidades a producir por mes"
Los valores 30, 500 y 8.000 son datos, ahora debemos traducir al lenguaje algebraico lo que ellos
representan.
Como producir una unidad le cuesta $30, el costo de producción de "x" unidades será:
30 x
Además existeun gasto fijo mensual de $500, independiente de las cantidades producidas, que
deberemos agregar al gasto total:
30 x + 500
Si el gerente dispone de un presupuesto de $8.000, quiere decir que el gasto máximo que puede
realizar en la producción es igual a $8.000, así la situación planteada puede ser representada
algebraicamente por la ecuación:
30 x + 500 = 8000
Hemos obtenido una ecuación,que debido a su estructura, se la denomina lineal.

2. Ecuaciones lineales con una incógnita
El proceso de encontrar las raíces se denomina resolver la ecuación.
La idea es transformar la ecuación, a través de operaciones algebraicas (como suma, resta,
multiplicación, división, entre otras), en otra más simple de resolver, pero que admite las mismas
raíces que la ecuación original.
En talsentido diremos que dos ecuaciones con las mismas incógnitas son equivalentes
si y sólo si tienen las misma soluciones.
Una ecuación lineal en una variable x es una ecuación donde la incógnita está
elevada a la potencia 1, y en general puede escribirse en la forma:
a x + b = 0,
donde a y b son constantes y a es distinta de cero.

¿Cómo pasar de una ecuación a otra equivalente?
Para ellopodemos valernos de las siguientes operaciones algebraicas:
1) Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma expresión.
2) Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo factor no nulo.
Por ejemplo si queremos dar solución al problema planteado por el gerente de la empresa la
ecuación a resolver es:
30 x + 500 = 8000
Como el objetivo es encontrar el valor de x, parecerazonable tratar de "aislar" de algún modo la
variable en cuestión. Si sumamos a ambos miembros de la igualdad (500):
30 x + 500 500 = 8000 500
obtenemos así una ecuación equivalente, más simple que la original:
30 x = 7500
Aún no hemos encontrado el valor de la incógnita.
Podemos entonces simplificar más la ecuación si multiplicamos ambos miembros por 1/30
1 1
30 7500
30 30
x =
de...