Sistema De Ecuaciones
Páginas: 9 (2147 palabras)
Publicado: 30 de junio de 2012
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Se denomina ecuacion lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,las incognitas no estan elevadas a potencias, ni multiplicadas entre si, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuacion lineal con tres incognitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incognitas representan unarecta en el plano.
Si la ecuacion lineal tiene 3 incognitas, su representacion grafica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
Figura 1: Representacion grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1
en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, unconjunto de
varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geometricamente representan la misma.
[pic]
Figura 1: Representacion grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjuntodevarias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,o geometricamente representan la misma recta o plano.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a11 ・ x1 + a12 ・ x2 + a13 ・ x3 + ・ ・ ・ + a1n ・ xn = b1
a21 ・ x1 + a22 ・ x2 + a23 ・ x3 + ・ ・ ・ + a2n ・ xn = b2
...
am1 ・ x1 + am2 ・ x2 + am3 ・x3 + ・ ・ ・+ amn ・ xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n incognitas.
Los numeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incognitas (o numeros a
determinar) y bj se denominan terminos independientes.
En el caso de que las incognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2,
y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incognitas para que se cumplan todas las ecuaciones
del sistema simultaneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Tipos de sistemas
En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los numeros reales R. Dependiendodel
posible numero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos de pueden clasificar en:
* INCOMPATIBLES (No tienen solucion)→ S.I.
* COMPATIBLES (Tienen solucion)
* DETERMINADOS (Solucion unica)→ S.C.D.
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.
Sistemas con dos incognitas
Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay dos incognitas y 2ecuaciones, y que ya
son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los mas habituales:
* Reduccion
* Igualacion
* Sustitucion
en los que ya no nos entretendremos.
Como cada ecuacion lineal con 2 incognitas se interpreta geometricamente como una recta, el estudio
de la solucion del sistema se limita a estudiar la posicion de 2 rectas en el plano.
Veamosalgunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el
Sistema:
x+2y = −3
−2x + y = 1
Por reduccion:
2x+4y=-6-2x+ y=1
5y=-5
de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1.
La solucion del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible
y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):...
LINEALES
Se denomina ecuacion lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,las incognitas no estan elevadas a potencias, ni multiplicadas entre si, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuacion lineal con tres incognitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incognitas representan unarecta en el plano.
Si la ecuacion lineal tiene 3 incognitas, su representacion grafica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
Figura 1: Representacion grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1
en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, unconjunto de
varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geometricamente representan la misma.
[pic]
Figura 1: Representacion grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjuntodevarias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,o geometricamente representan la misma recta o plano.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a11 ・ x1 + a12 ・ x2 + a13 ・ x3 + ・ ・ ・ + a1n ・ xn = b1
a21 ・ x1 + a22 ・ x2 + a23 ・ x3 + ・ ・ ・ + a2n ・ xn = b2
...
am1 ・ x1 + am2 ・ x2 + am3 ・x3 + ・ ・ ・+ amn ・ xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n incognitas.
Los numeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incognitas (o numeros a
determinar) y bj se denominan terminos independientes.
En el caso de que las incognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2,
y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incognitas para que se cumplan todas las ecuaciones
del sistema simultaneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Tipos de sistemas
En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los numeros reales R. Dependiendodel
posible numero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos de pueden clasificar en:
* INCOMPATIBLES (No tienen solucion)→ S.I.
* COMPATIBLES (Tienen solucion)
* DETERMINADOS (Solucion unica)→ S.C.D.
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.
Sistemas con dos incognitas
Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay dos incognitas y 2ecuaciones, y que ya
son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los mas habituales:
* Reduccion
* Igualacion
* Sustitucion
en los que ya no nos entretendremos.
Como cada ecuacion lineal con 2 incognitas se interpreta geometricamente como una recta, el estudio
de la solucion del sistema se limita a estudiar la posicion de 2 rectas en el plano.
Veamosalgunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el
Sistema:
x+2y = −3
−2x + y = 1
Por reduccion:
2x+4y=-6-2x+ y=1
5y=-5
de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1.
La solucion del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible
y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):...
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