Sistema de Ecuaciones

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Objetivos
En esta quincena recordarás la
resolución de sistemas de ecuaciones
y aprenderás a resolver también
algunos sistemas de inecuaciones.
Cuando la hayas estudiado deberás
ser capaz de:

• Resolver un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas por los
distintos métodos.

• Identificar el número de soluciones
de un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas.• Utilizar los sistemas de ecuaciones

para plantear y resolver problemas

• Resolver sistemas de inecuaciones
con una incógnita

Sistemas de ecuaciones

Antes de empezar.
1.Sistemas de ecuaciones lineales …… pág. 98
Ecuación lineal con incógnitas
Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación de sistemas
2.Métodos de resolución …………………… pág. 99
Reducción
Sustitución
Igualación2.Aplicaciones prácticas …………………
Resolución de problemas

pág. 102

3.Sistemas de inecuaciones …………… pág. 104
con una incógnita
Resolución
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación

MATEMÁTICAS A

95

96

MATEMÁTICAS A

Sistemas de ecuaciones

Antes de empezar

Los sistemas de ecuaciones lineales ya fueron resueltos por los
babilonios, los cualesllamaban a las incógnitas con palabras
tales como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera
relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la
resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes
términos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos

En nuestra notación el sistema es:
Anchura: x
Longitud: y
Manos: tx+4y=28t
x+y=10t
Restando la primera de la segunda se
obtiene: 3y=18t
Luego:

y = 6t
x = 4t

MATEMÁTICAS A

97

Sistemas de ecuaciones
1. Sistemas de ecuaciones
lineales

3x + y = 12
Coeficiente de x= 3, Coeficiente de y= 1
Término independiente =12
Una solución de la ecuación es:

x=1

Ecuación lineal con dos incógnitas
Una ecuación de primer grado se denominaecuación
lineal.

Una ecuación lineal con dos incógnitas
es una igualdad algebraica del tipo:
ax+by=c, donde x e y son las incógnitas,
y a, b y c son números conocidos
Una solución de una ecuación lineal con dos
incógnitas es un par de valores (xi,yi) que hacen
cierta la igualdad.

y=9

Observa que 3·(1)+9=12
Para obtener más soluciones se da a x
el valor que queramos y se calcula la yx
x
x
x

= 0 → y = 12 − 3·0 = 12
= 1 → y = 12 − 3·1 = 9
= 2 → y = 12 − 3·2 = 6
= 3 → y = 12 − 3·3 = 3

Si representamos los puntos en un
sistema de ejes coordenados forman
una recta:

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas
soluciones y si las representamos forman una recta

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitasestá formado por dos ecuaciones lineales
de las que se busca una solución común.
⎧ a1 x + b1y = c1
⎨
⎩a2 x + b 2 y = c 2

a1, b1, a2, b2, c1, c2
son números reales

Dos sistemas con la misma solución se dicen
equivalentes

Una solución de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas
es un par de valores (xi,yi) que verifican
las dos ecuaciones a la vez. Resolver elsistema es encontrar una solución.

98

MATEMÁTICAS A

Sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas:

⎧2x + 3y = 14
⎨
⎩3x + 4y = 19

⎧x = 1
⎨
⎩y = 4
Es una solución del sistema
anterior

⎧2(1) + 3(4) = 2 + 12 = 14
⎨
⎩3(1) + 4(4) = 3 + 16 = 19

Sistemas de ecuaciones
Clasificación de sistemas
En un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas, cada ecuaciónrepresenta una recta en el
plano. Discutir un sistema es estudiar la situación de
estas rectas en el plano, que pueden ser:

Representar:

x-2y=1
y=0,5x-0,5
Damos valores: x
0
1
y -0,5 0

•
•

×

Coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones,
es Compatible Indeterminado

•

×

Secantes, el sistema tiene solución única, se llama
Compatible Determinado.

Paralelas, el...