Sistema De Ecuaciones

Titulo: SISTEMAS DE ECUACIONES

( Método de Gauss)
Año escolar: 4to. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección :martilloatomico@gmail.com
Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y se le enviará resuelto a la suya.

SISTEMAS DE ECUACIONES – MÉTODO DE GAUSS

Ing. José Luis Albornoz Salazar

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SISTEMAS DE ECUACIONESMÉTODO DE GAUSS
Antes de abordar este tema recomendamos “refrescar” los conocimientos en lo relacionado a CÓMO RESOLVER UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN (SUMA Y RESTA). Para esto puede ver los videos y guías de SISTEMAS DE ECUACIONES a los que puedes acceder gratuitamente en la página web :

Pero lo podemos ordenar de manera escalonada como se encuentraen el primer sistema mostrado. No siempre es necesario que las incógnitas estén en el orden X,Y,Z; algunas veces el sistema se puede ordenar a nuestra conveniencia sin respetar el orden anterior. Así, el siguiente sistema también es escalonado : 3Z – 2X – 3X + 5Y = +3Y = 3Y = SISTEMA –15 –13 9 DE ECUACIONES

www.lamatematicadefidel.com
De igual manera consideramos necesario “aclarar” qué es unSISTEMA DE ECUACIONES ESCALONADO y cómo se soluciona, para facilitar la comprensión del Método de Gauss, SISTEMA DE ECUACIONES ESCALONADO : Se dice que un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas es escalonado cuando en la primera ecuación presenta las 3 incógnitas, en la segunda ecuación presenta 2 incógnitas y en la tercera ecuación presenta 1 incógnita (este concepto es análogo para sistemas demás de 3 ecuaciones). Así, el siguiente sistema de ecuaciones es escalonado : X –Y –Y +3Z = + Z = –2Z = –4 –3 2 Conocido el valor de “Z” lo podemos sustituir en la 2ª ecuación y calcular el valor de “Y” : ¿CÓMO SE RESUELVE ESCALONADO ? UN

Resolveremos el siguiente sistema escalonado para fijar los conceptos : (1ª) (2ª) (3ª) X –Y –Y +3Z = + Z = –2Z = –4 –3 2

Se resuelve la 3ª ecuación ya quepresenta una sola incógnita :

Algunas veces el sistema de ecuaciones puede estar “desordenado”, luego el primer paso consistirá en ordenarlo. El siguiente sistema no está escalonado : X –Y –Y + Z = +3Z = –2Z = –3 –4 2

Conocidos los valores de “Y” y “Z” los podemos sustituir en la primera ecuación y calcular el valor de “X” :

SISTEMAS DE ECUACIONES – MÉTODO DE GAUSS

Ing. José Luis AlbornozSalazar

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¿CÓMO RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES UTILIZANDO EL MÉTODO DE GAUSS? Para solucionarlo es necesario buscar un sistema de ecuaciones escalonado equivalente y después resolver éste como lo hicimos en la página anterior. Es decir, dado un sistema de ecuaciones : aX eX iX +bY +fY +kY +c Z = +g Z = +m Z = d h n

En este caso en particular notamos que la 2ª ecuación la podemosmultiplicar por menos uno (-1) para anular la “X” cuando se sume con la ecuación 1ª. Al multiplicar todos los términos de la ecuación 2ª por menos uno, la ecuación equivalente será : (1ª) (2ª).(-1) X –X –Y –Y + 3Z = –Z = –4 –2

Luego se realiza la suma algebraica de las dos ecuaciones : (1ª) (2ª).(-1) X –X 0X –Y –Y – 2Y + 3Z = –Z = + 2Z = –4 –2 –6

Transformarlo en un sistema escalonadoequivalente del tipo : aX 0X 0X +bY +pY +0Y +c Z = +q Z = +s Z = d r t

Esta ecuación resultante la identificaremos como (2ª)* y el sistema inicial quedará conformado así : (1ª) (2ª)* (3ª) X 0X X – Y + 3Z = – 4 –2Y + 2Z = –6 + 2Y –Z = 6

Para lograr dicha transformación es necesario resolver varios sistemas de dos ecuaciones como explicaremos en el ejercicio siguiente.

EJERCICIO 1 :
(1ª) (2ª)...