sistema de ecuanciones

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Ecuaciones y sistemas

Objetivos
En esta quincena aprenderás a:

•

Resolver ecuaciones de
segundo grado completas e
incompletas.

•

Resolver ecuaciones
bicuadradas y otras que se
pueden reducir a una de
segundo grado.

•

Resolver sistemas de
ecuaciones lineales utilizando
los diferentes métodos.

•

Resolver sistemas de
ecuaciones de segundo grado.

•

Aplicar el lenguaje del álgebra
a laresolución de problemas.

Antes de empezar.
1.Ecuaciones de segundo grado ………. pág. 58
Ecuaciones de 2º grado completas
Ecuaciones de 2º grado incompletas
Soluciones de una ecuación de 2º grado
Ecuaciones bicuadradas
Ecuaciones racionales
2.Sistemas de ecuaciones lineales ….. pág. 61
Solución de un sistema
Sistemas compatibles e incompatibles
Resolver sistemas por sustitución
Resolver sistemas porigualación
Resolver sistemas por reducción
3.Sistemas de segundo grado …......… pág. 63
Del tipo: ax+by=c x·y=d
Del tipo: a0x2+b0y2=c0 a1x+b1y=c1
4.Aplicaciones prácticas ….............…. pág. 64
Resolución de problemas
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS B „

55

56

„ MATEMÁTICAS B

Ecuaciones y sistemas
Antes deempezar

Gran cantidad de problemas prácticos en la vida real conducen a la resolución de una
ecuación o de un sistema de ecuaciones. Traducir al “lenguaje del álgebra” resulta
imprescindible en estas ocasiones, el lenguaje algebraico nos sirve para expresar con
precisión relaciones difíciles de transmitir con el lenguaje habitual.

Prueba a hacer a algún amigo el juego de que
propone el mago, paraadivinar el número
pensado basta restar 1000 al resultado que te
de y dividir por 100, como puedes comprobar si
planteas una ecuación:
Piensa un número x
Duplícalo 2x
Añade 5 unidades 2x+5
Multiplica por 5 5·(2x+5)
Suma 75 unidades 5·(2x+5)+75
Multiplica todo por 10 10·[5·(2x+5)+75]

Con álgebra
es fácil

Piensa un número,
duplícalo, añade 5
unidades, multiplica
por 5, suma 75
unidades y multiplicatodo por 10.

10·[5·(2x+5)+75]=resultado
10·(10x+25+75)= resultado
10·(10x+100)= resultado
100x+1000=resultado

Ahora dime
el resultado y
adivino tu
número.

x=(resultado-1000)/100

MATEMÁTICAS B „

57

Ecuaciones y sistemas
1. Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
2

ax + bx + c =0

Resolver:

x2 - 2x - 8 =0

Para resolverlas empleamos la fórmula:
x =

−b±

b2 − 4ac
2a

Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones, una o
ninguna solución, según sea b2-4ac, el llamado
discriminante.
ƒƒƒ b -4ac > 0

Hay dos soluciones.

ƒƒƒ b2-4ac = 0

Hay una solución doble: x=-b/2a

ƒƒƒ b -4ac < 0

No hay solución.

2

2

x=
=

− (−2) ± (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8)
2 ⋅1

2 ± 4 + 32
2 ± 36
2±6
=
=
2
2
2

Obtenemos dos soluciones:
x=4
x=-2

¿Cómo se obtiene la fórmula?ax2+bx+c=0
Pasamos c al otro miembro:

ax2+bx= -c

Multiplicamos por 4a:

4a2x2+4abx=-4ac

Sumamos b2:

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

Tenemos un cuadrado perfecto:

(2ax+b)2=b2-4ac

Extraemos la raíz:

2ax + b = ± b2 − 4ac
Despejamos x:

x=

− b ± b2 − 4ac
2a

Ecuaciones incompletas
Cuando b, c ó los dos son 0 estamos ante una
ecuación de segundo grado incompleta.

Resolver:

x(2x - 6) = 0
Soluciones:
x=0
x=3

Enestos casos no es necesario aplicar la fórmula sino
que resulta más sencillo proceder de la siguiente
manera:

•

Si b=0

ax2 + c =0 ⇒ ax2=-c ⇒ x2=-c/a
x=± −

•

Si c=0

c ƒƒƒ Si –c/a>0 hay dos soluciones
a ƒƒƒ Si –c/a<0 no hay solución

ax2 + bx =0
sacando x factor común : x(ax+b)=0
⇒ x=0, x=-b/a son las dos soluciones.

58

2x2 - 6x = 0

„ MATEMÁTICAS B

Resolver:

-x2/2 +2 = 0
x2 = 4Soluciones:
x=2
x=-2

Ecuaciones y sistemas
Resolver:

x4-5x2+4=0

Ecuaciones bicuadradas

x2=t

t2-5t+4=0

A las ecuaciones del tipo ax4+bx2+c=0 se les llama
bicuadradas.

5 ± 25 − 16
5 ± 3 ⎧4
t =
=
=⎨
2
2
⎩1

Para resolverlas basta hacer x2=t, obteniendo una
ecuación de segundo grado: at2+bt+c=0, en la que

t =

− b ± b2 − 4ac
2a

⇒

x = ± t1
x = ± t2

2

t = 4 ⇒ x = 4 ⇒ x = ± 4 = ±2
t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒...