Sistema de ejes coordenados

Unidad I. Sistema de ejes coordenados 1.1. Coordenadas cartesianas de un punto 1.1.1. Ejes coordenados a. Parejas ordenadas de números: Elementos, Igualdad de parejas Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadascartesianas, en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650).

René Descartes Las coordenadas cartesianas emplean un par de ejes perpendiculares, llamados eje de las abscisas y eje de las ordenadas. El eje de las abscisas es el eje horizontal, en tanto que el eje de las ordenadas es el vertical. El punto de intersección de ambos ejes recibe el nombre de origen. Losejes coordenados al cortarse dan lugar a la formación de cuatro cuadrantes, de los cuales el superior derecho recibe el nombre de primer cuadrante, el superior izquierdo de segundo cuadrante, el inferior izquierdo de tercer cuadrante y el inferior derecho de cuarto cuadrante

b. Puntos en un plano: Ejes cartesianos rectangulares, Abscisa y ordenada Las distancias de un punto a los ejescoordenados reciben el nombre de coordenadas del punto. Estas distancias son las abscisas y la ordenada del punto. Abscisa de un punto: los números tomados sobre el eje x miden las distancias en magnitud y signo del origen a los puntos del eje, y reciben el nombre de abscisas. El eje x se denomina, por tanto, eje de las abscisas. Ordenada de un punto: los números tomados sobre el eje y miden las distanciasen magnitud y signo del origen a los puntos del eje, y reciben el nombre de ordenadas; por tanto, el eje y recibe el nombre de eje de las ordenadas. Las coordenadas de un punto son, como queda dicho su abscisa y su ordenada. Al indicar la situación de un punto en el plano por sus coordenadas se acostumbra indicar, en primer lugar su abscisa, y en segundo término su ordenada. De esto resulta que acada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa x y una ordenada y, lo cual se expresa como sigue: P(x, y)

8

6

II Y
4

I P( X, Y)

Q(- X, Y)
2

-X
-10 -5

X
5 10

III

-2

R (- X, -Y)
-4

IV S ( X, -Y) -Y

-6

Por ejemplo, si P es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 7 y cuya ordenada es 9: se tiene P(7, 9)localizado en el primer cuadrante. Existen dos casos: Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto, paralelas a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes. Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenadadel punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano. Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por P(0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el eje y; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el eje x. Ejercicios de autoevaluación 1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos: P(3,4), Q(-3,3), S(2,-3) y R(-2,-2)SOLUCIÓN

8

P( X, Y): (3, 4) Q(- X,Y): (-3, 3) S( X, -Y): (2, -3) R(- X,-Y) : (-2, -2) II

6

I Y P( X, Y)

4

Q(- X,Y)
2

-X
-10 -5

X
5 10

III

-2

R(- X,-Y)
-4

IV S( X, -Y) -Y

-6

1.1.2. Lugares geométricos
•

Concepto de lugar geométrico

Un lugar geométrico es el conjunto de todos puntos del plano que verifican una propiedad determinada. Por lo tanto: SiL es un lugar geométrico definido por la propiedad P, se verifica que: a) Todo punto de L posee la propiedad P. b) Todo punto que posee la propiedad P pertenece a L. La condición b) puede sustituirse por la siguiente: c) Todo punto no perteneciente a L no posee la propiedad P. Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos.
o

La...