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3 El Teore ma del Valor Me dio
Un teorem a fundam ental del c ´alculo es e l Teorem a del Valor Medio de Lagrange: dada f : [a, b ] −→ R
continua, si f es dife re nc iable e n (a, b ) e ntonce s e xis te c ∈ (a, b ) tal que f (b ) − f (a) = D f (c)(b − a) (para aplicac ione s de dominio o c o dominio R o C , D f (a) s e denota generalme nte com o f 0 (a)).

(para aplicac ione s de dominio o co dominio R o C , D f (a) s e denota generalme nte com o f 0 (a)).
8 Una aplic aci´o n f entre espa cios norm ados es u n ho meo morfi smo si es continua, biyectiva y d e inve rsa co ntinua.
9 Dire mos qu e un a ap licac i´on f entre espa cios n orm ados es un isom orfi smo si es u n h omeo mor fismo line al

Derivaci´on en e spacios normados 8
Este teore ma tie ne un an´alogo para funcione sdiferenciable s de la forma f : X −→ R , donde X es un
subconjunto abierto de un es pac io normado E .
Teorema 3. 1 (Igualdad del Va lor Med io) Sean E un espacio norma do, X ⊂ E un subcon junto a bierto,
f : X −→ R una aplicaci´o n diferenciable en X y x, y ∈ X tales que [x, y ]1 0 ⊂ X . Enton ces existe z ∈ [x, y ]
tal que f (y ) − f (x) = D f (z )(y − x).
Demostraci´on. Conside remos laaplicac i´on g : U ⊂ R −→ E tal que g (λ ) = (1 − λ )x + λy y el
sub c onjunto U = {λ ∈ R tal que (1 − λ )x + λy ∈ X }. Por Prop osic iones 2.9 y 2.4 obte ne mos que g es
diferenciable y su derivada e s constante e igual a y − x. Consideremos h (λ ) = f ((1 − λ )x + λy ), e ntonce s
p or Prop os ici´on 2.7 h es diferenciable y D h(λ ) = D f ((1 − λ )x + λy )(y − x). Aplicando a h el Teore ma de lValor Medio para una funci´on de variable re al a valore s re ale s e n el inte rvalo [0 , 1], obte ne mos que e xis te
λ ∈ [0, 1] ⊂ U tal que h (1) − h (0) = D h(λ ), es to es , f (y ) − f (x) = D f (z )(y − x) c on z ∈ [x, y ].
Ejempl o 3.1 Consideremos la aplicaci´on f : R −→ R 2 defin ida por f (x) = ( sen x, ex ).
Es claro que f es continua en [0, π ] y diferen ciable en (0, π ), no obstante, n o existe t ∈ [0, π ] tal que
f (π ) − f (0) = D f (t )(π − 0); pues la igua ldad equivale a (0, eπ ) − (0, 1) = ( π cost, π e t ) de don de debe ser
t = π /2, pero de un simp le c´alculo obtenemos eπ − 1 6= π eπ / 2 .
Este ejem plo nos mues tra que no e s p osible garantiz ar la Igualdad del Valor Medio para el caso de
aplicac ione s dife re nc iables de valore s vec toriales. Sin embargo, p o de mos dar una generalizaci´on de es te
Teorem a, en form a de des igualdad, que incluya tambi´en a e ste tip o de aplic aciones.
Teorema 3. 2 (Desigualdad del Valor Medio) Sean E , F espacios normado s, X ⊂ E un subconjunto
abiert o, f : X −→ F una aplicaci´on diferencia ble en X y x, y ∈ X tales que [x, y ] ⊂ X . Enton ces,
kf (y ) − f (x)k ≤ sup
z ∈[ x,y ]
kD f (z )k · k y − xkDemostraci´on. Tome mos una aplicaci´on arbitraria ϕ en el e spacio dual1 1 de F y conside remos la
aplicac i´on g (t ) = ϕ (f ((1 − t )x + ty )) de finida para 0 ≤ t ≤ 1. Por Prop os ici´on 2.4 ϕ es diferenciable y
D ϕ(b ) = ϕ para b ∈ F . Adem´as , rec ordem os de la de mos traci´on del Teorem a 3.1 que f ((1 − t )x + ty ) (la
10 Co n [ x, y ] d enot amo s el s egm ento de rect a de extrem osx e y , e s dec ir, [ x, y ] = { z ∈ X : z = (1 − t) x + ty , 0 ≤ t ≤ 1 } .
11 Den omi nam os esp acio dua l de un e spac io F al conjunto F ∗ = { γ : F −→ R , lin eal y c ontinua }
Derivaci´on en e spacios normados 9
llamamos h en aquella dem ostraci´on) es dife re nc iable en t y D h(t ) = D f ((1 − t )x + ty )(y − x). Entonc es,
p or Prop osici´on 2.7 g es difere nciable y
D g (t ) = ϕ (Df ((1 − t )x + ty )(y − x)) (1)
Luego, aplicando el Te ore ma de l Valor Medio para una funci´on de variable real a valore s re ales a g en [0 , 1]
tenem os que g (1) − g (0) = D g (θ ) donde 0 ≤ θ ≤ 1 (θ dep e nde de ϕ ). Entonce s, de e sta ´ultima igualdad y
de (1)
ϕ (f (y ) − f (x)) = ϕ (D f ((1 − θ )x + θ y )(y − x)) (2)
y e sto vale para c ualquie r ϕ ∈ F ∗ . De ducimos de (2) que
|ϕ...