Sistema de la masa variable

En esta página, se continua el estudio del movimiento de una cadena apilada sobre el suelo, uno de cuyos extremos cuelga de un hilo fino que pasa por una polea. El otro extremo del hilo está unido aun cuerpo, tal como se muestra en la figura.

El peso del cuerpo es igual al peso ρa de una longitud a de la cadena. Donde ρ es la masa por unidad de longitud de la cadena.
Por tanto, el extremode la cadena unido al hilo se eleva una longitud x=a para que se equilibre con el peso del cuerpo en una máquina de Atwood, tal como se muestra en la figura.
En la situación inicial, la cadena estácompletamente apilada en el suelo, x=0, y la velocidad inicial v=0. El bloque tira de la cadena que se eleva hasta que alcanza una altura máxima. Analizamos el movimiento de la cadena cuando su extremose ha elevado una altura x, tal como se muestra en la figura


Movimiento de la cadena hacia arriba.

Las fuerzas sobre el cuerpo son:
• El peso del cuerpo, ρag
• La tensión del hilo, T.La ecuación del movimiento es


Las fuerzas sobre la cadena son:
• El peso de la longitud x de la cadena, ρxg, que actúa en el centro de masas
• La tensión del hilo T, que es la misma a amboslados de la polea si se considera que tiene una masa despreciable.
Empleamos la definición de fuerza F=dp/dt, donde p es el momento lineal de la cadena, para escribir la ecuación de su movimientoEliminamos T del sistema de dos ecuaciones
(1)
Expresamos v en función de la altura x del extremo de la cadena en vez del tiempo t.

y multiplicamos la ecuación diferencialpor (a+x), resultando

Haciendo el cambio de variable z2=(a+x)2•v2

Integrando


Deshaciendo el cambio

Si partimos de la posición inicial x0=0 con velocidad inicial v0=0.

El extremode la cadena se mueve hacia arriba, el cuerpo se mueve hacia abajo con la misma velocidad, hasta que se detienen v=0, en la posición

Ecuación del movimiento (v>0)
Para calcular la posición del...