Sistema de masa variable

SISTEMAS DE MASA VARIABLE
Ecuaciones generales para sistemas con masa variable
Un cohete disminuye su masa con el tiempo, para lograr aumentar su velocidad. Se trata de un sistema de masa variable. En la descripción del movimiento de un cohete, no puede emplearse la segunda ley de Newton F= ma, sino la definición general de fuerza:
dp/dt=F
Sea v la velocidad del cohete respecto al planeta, yu la velocidad constante de los gases expulsados respecto del cohete; v-u será la velocidad de los gases respecto del planeta. Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=dm/dt
La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m₀-Dt. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y Dt es el combustible quemado al cabo de un ciertotiempo t.
Cuando el cohete expulsa una cantidad de combustible dm, incrementa su velocidad en dv, la variación del momento lineal será igual al momento lineal del cohete más el momento lineal de los gases expulsados en el instante t+dt, menos el momento lineal del cohete en el instante t.
dp=(m-dm)(v+dv)+(v-u)dm-mv
Simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior queda
dp=mdv-udmLa razón del cambio del momento lineal con el tiempo será entonces:
dp/dt=m dv/dt-u dm/dt
La derivada del momento lineal con el tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre el cohete F=-mg, donde g es la intensidad del campo gravitatorio cerca de la superficie del planeta que supondremos constante. Por tanto,
m dv/dt=uD-mg
Esta expresión se puede interpretar del siguiente modo: un cohetepuede considerarse un móvil de masa m sometido a dos fuerzas en la misma dirección y en sentidos contrarios: el empuje de los gases uD y el peso mg.
Como caso particular mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, y sobre el cohete actúa únicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsión de los gases al quemarse el combustible.
La ecuación anterior la podemos escribirdv/dt=-g+u D/(m^0-Dt)
Que se puede integrar de forma inmediata
∫_(v₀)^v▒〖dv=∫_0^t▒(-g+u D/(m^0-Dt))dt〗
Obteniéndose la expresión de la velocidad en función del tiempo
v=v₀-gt+uln (m₀)/(m^0-Dt)
Volviendo a integrar
∫_(x₀)^x▒〖dx=∫_0^t▒vdt〗
Se obtiene con un poco más de trabajo la posición x del móvil en cualquier instante t.
x=x₀+v₀t-1/2 gt^2+u(tlnm+1/D ((m₀-Dt)(ln⁡(m₀-Dt)-1)-m₀(lnm₀-1))Ecuación del Cohete
La ecuación del cohete de Tsiolkovski, llamada así por Konstantín Tsiolkovski que fue el primero que la derivó, considera el principio del cohete: un aparato que puede aplicar aceleración al mismo (empuje) expulsando parte de su masa a alta velocidad en la dirección opuesta, debido a la conservación de la cantidad de movimiento
Relación entre las masas original y final, parael cohete.
Introducción
La expresión de Tsiolkovski expresa que para cualquier maniobra o viaje que incluya maniobras:
∆v=vₑln (m₀)/(m₁)
O equivalentemente
m₀=m₀e^(-∆v/vₑ), m₁=m₁e^(∆v/vₑ)
Dónde:
m₀ = masa total inicial.
m₁ = masa total final
vₑ = velocidad de los gases de salida con respecto al cohete (impulso específico).
Por otro lado el término:
1-m^1/m^0 =1-e^(-∆v/vₑ)Es la fracción de masa (la parte de la masa total inicial que se utiliza para propulsar el cohete
∆v(delta-v) es el resultado de integrar en el tiempo la aceleración producida por el uso del motor del cohete (no la aceleración debida a otras fuentes como rozamiento o gravedad). En el caso típico de aceleración en el sentido de la velocidad, es el incremento de la velocidad. En el caso deaceleración en el sentido contrario (desaceleración) es el decremento de la velocidad. La gravedad y el rozamiento cambian también la velocidad pero no forman parte de delta-v. Por ello, delta-v no es simplemente el cambio en la velocidad. Sin embargo, el empuje se aplica en corto tiempo, y durante ese periodo las otras fuentes de aceleración pueden ser negligibles, así que la delta-v de un momento...