Sistema De Números Reales
Páginas: 2 (407 palabras)
Publicado: 25 de junio de 2012
SISTEMAS DE LOS NUMEROS REALES
El sistema de los números reales es un cuerpo ordenado y completo. Lo notaremos[pic].
En [pic] consideraremos las operaciones usuales de adición y multiplicación[pic]
Las operaciones de adición y multiplicación satisfacen los siguientes axiomas conocidos
Como axiomas de cuerpo.
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic] .Estos sonllamados opuestos e inversos respectivamente.
5. [pic]
Teorema 1: los elementos 0 y 1 del axioma 3 son únicos.
Demostración:
Supongamos que existen dos números 0 y 0, con 0≠[pic]tales que:
[pic]
[pic]=x
Entonces tenemos que:
[pic] (1)
0+[pic]
Pero por axioma 1 se cumple se cumple que:
0+[pic]
De donde, igualando (1) y (2) vemos que,
0=[pic]Pero por hipótesis teníamos que 0 [pic], por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y en consecuencia el este 0es único.
Teorema 2: el opuesto y el inverso son únicos (unicidad del opuesto ydel inverso).
Demostración:
Supongamos que existen dos elementos [pic] y [pic] con [pic], tal que:
[pic]
[pic]
Ahora por axioma 3, se cumple que,
[pic]
=[pic]
=[pic]) + [pic]= 0 +[pic]
Pero por hipótesis teníamos que [pic]por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y en consecuencia el opuesto es único.
De manera similar se prueba que también el inverso también esúnico.
Teorema 3: sean a, b, c [pic].se tiene:
i. [pic]
Demostración:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ii. [pic]
Demostración:[pic]
[pic]
[pic]
Ahora bien, por axioma 1 se cumple que
[pic]
Luego, por i, tenemos
[pic]
iii. [pic]Demostración:
Si [pic]exite un [pic]
Por otra parte,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
iv. [pic]
Si [pic], existe un [pic]talque [pic]...
El sistema de los números reales es un cuerpo ordenado y completo. Lo notaremos[pic].
En [pic] consideraremos las operaciones usuales de adición y multiplicación[pic]
Las operaciones de adición y multiplicación satisfacen los siguientes axiomas conocidos
Como axiomas de cuerpo.
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic] .Estos sonllamados opuestos e inversos respectivamente.
5. [pic]
Teorema 1: los elementos 0 y 1 del axioma 3 son únicos.
Demostración:
Supongamos que existen dos números 0 y 0, con 0≠[pic]tales que:
[pic]
[pic]=x
Entonces tenemos que:
[pic] (1)
0+[pic]
Pero por axioma 1 se cumple se cumple que:
0+[pic]
De donde, igualando (1) y (2) vemos que,
0=[pic]Pero por hipótesis teníamos que 0 [pic], por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y en consecuencia el este 0es único.
Teorema 2: el opuesto y el inverso son únicos (unicidad del opuesto ydel inverso).
Demostración:
Supongamos que existen dos elementos [pic] y [pic] con [pic], tal que:
[pic]
[pic]
Ahora por axioma 3, se cumple que,
[pic]
=[pic]
=[pic]) + [pic]= 0 +[pic]
Pero por hipótesis teníamos que [pic]por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y en consecuencia el opuesto es único.
De manera similar se prueba que también el inverso también esúnico.
Teorema 3: sean a, b, c [pic].se tiene:
i. [pic]
Demostración:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ii. [pic]
Demostración:[pic]
[pic]
[pic]
Ahora bien, por axioma 1 se cumple que
[pic]
Luego, por i, tenemos
[pic]
iii. [pic]Demostración:
Si [pic]exite un [pic]
Por otra parte,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
iv. [pic]
Si [pic], existe un [pic]talque [pic]...
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