Sistema de numeración

SISTEMA DE NUMERACIÓN.
Es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.

Un sistema de numeración puede representarse como:



Dónde:
 Es el sistema de numeración considerado (ej. decimal, binario, etc.).

 Es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; enel octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D, E, F}.

 Son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no.

En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

Sistema numérico. Es un conjunto provisto de dos operaciones que verifican ciertascondiciones relacionadas con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.


DIFERENTES SISTEMAS NUMERICOS.

Según su estructura algebraica.

Sistemas numéricos con estructura de anillo
Los números enteros  son uno de los ejemplos más sencillos de anillos.
Los números enteros módulo n (donde, con p un número entero primo).
Los enteros gaussianos 

Sistemas numéricos conestructura de cuerpo
Los números racionales (), mínimo cuerpo que contiene al anillo ().
Los números algebraicos (), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a 
Los números reales (), mínimo cuerpo completo que contiene a 
Los números complejos (), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a 
Los números enteros módulo p (con p primo, () o aritmética modular de módulo p.Los números hiperreales ()son una extensión de los números reales ().
Los números superreales son una generalización de los números hiperreales.
Los números surreales son el cuerpo más grande posible que contiene a los reales y siguen siendo un cuerpo ordenado.

Sistemas numéricos con estructura de álgebra
Los números cuaterniónicos
Los números octoniónicos
Los números sedeniónicos


Según laspropiedades de orden.

Sistemas numéricos totalmente ordenados
Los naturales , los enteros , los racionales  y los reales  son ejemplos de conjuntos totalmente ordenados.
Los enteros gaussianos o los complejos no son un conjunto totalmente ordenado, ya que no puede definirse un orden total compatible con las operaciones aritméticas. Ese hecho se sigue de que tanto la hipótesis de que i > 0como i < 0 conducen a una contradicción, si se admite que el orden propuesto es no-trivial y compatible con la multiplicación.
Tampoco números enteros módulo n no admiten ningún orden total compatible con la suma ya que al ser grupos cíclicos respecto a la suma. Ya que a > 0 debería implicar dos cosas que su opuestos aditivo -a < 0 y además que sumar un número finito de veces a consigo mismoimplica n·a > 0, pero dado que (n-1)·a = -a, se llega a una contradicción, al ser el primer miembro positivo y el segundo negativo.

Sistemas numéricos bien ordenados
Los números naturales  son un ejemplo de sistema numérico que es además un conjunto bien ordenado.
Los números enteros no son un conjunto bien ordenado, aunque cualquier subconjunto acotado de los enteros sí es finito y por tanto también es unconjunto bien ordenado.
Los números racionales y reales no son un conjunto bien ordenado. Ni siquiera cualquier subconjunto acotado de números racionales o reales es un conjunto bien ordenado. Por ejemplo el intervalo abierto (0,1) es un subconjunto acotado tanto en los racionales como en los reales pero no tiene un elemento mínimo perteneciente al conjunto, ya que 0 no es un elemento de esesubconjunto.

Sistemas numéricos con orden denso
Ni los números naturales, ni los enteros tienen un orden denso, ya que pueden seleccionarse dos números consecutivos tales que entre ellos no exista ningún otro elemento. Por ejemplo, no existe ningún otro número entero entre 2 y 3.
En cambio los racionales y los reales tienen un orden denso, dados dos números diferentes r1 y r2 siempre...